Vektor: Pengertian, Operasi, Komponen, Vektor Satuan [Lengkap + Contoh Soal]

Vektor merupakan bahasa matematika yang dapat kita gunakan untuk menyatakan dan menggambarkan besaran-besaran dalam ilmu fisika. 

---

Vektor sangat bermanfaat dalam fisika untuk menggambarkan besaran-besaran fisika yang memiliki nilai dan arah. Besaran inilah yang kemudian kita sebut sebagai besaran vektor. Contoh besaran vektor adalah perpidahan, kecepatan, percepatan, gaya dan momen gaya. Besaran vektor dapat disimbolkan dengan cetak tebal dan cetak miring (A) maupun dengan tanda panah ([latex]\vec{A}[/latex]). Nilai dari besaran vektor disimbolkan tanpa cetak tebal dan cetak miring (A) maupun dengan tanda mutlak ([latex]\left| A\right|[/latex]).

Namun tidak semua besaran dalam fisika adalah besaran vektor. Besaran dalam fisika yang hanya memiliki nilai dan tidak memiliki arah adalah besaran skalar.  Contoh besaran skalar yaitu jarak, kelajuan, temperatur, massa jenis dan energi.

Artikel ini akan membahas secara lengkap berbagai hal tentang Vektor: Pengertian, Penjumlahan dan Pengurangan, Perkalian, Komponen Vektor, Vektor Satuan [Lengkap + Contoh Soal]. Selamat belajar.

Pengertian Vektor

Sebuah vektor dapat kita gambarkan dengan garis dan panah. Panjang garis menyatakan nilai vektor. Arah panah menyatakan arah vektor. Seperti pada Gambar 1.

Komponen Vektor

Komponen sebuah vektor adalah proyesi vektor tersebut pada suatu sumbu. Sebagai contoh, pada Gambar 2 (a) Komponen vektor A sepanjang sumbu x adalah A_x dan komponen vektor A sepanjang sumbu y adalah A_y. Proyeksi sebuah vektor pada suatu sumbu dapat kita peroleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari kedua ujung vektor terhada sumbu, seperti tertera pada gambar. Proyeksi vektor pada sumbu x merupakan komponen x dari vektor dan proyeksi vektor pada sumbu y merupakan komponen y dari vektor. Proses untuk mendapatkan komponen-komponen vektor ini disebut penguraian vektor [1].

Sebuah komponen vektor mempunyai arah yang sama (sepanjang sumbu) dengan vektor. Komponen vektor A keduanya bernilai positif karena A memanjang di arah positif kedua sumbu. Contoh lain dapat dilihat pada Gambar 3(b) dan 3(c).

Kita dapat mencari mencari komponen dari A pada Gambar 2(a) secara geometri dari bentuk segitiga siku-siku seperti pada Gambar 2(b) sebagai berikut:

dimana [latex]\theta[/latex] adalah sudut yang dibetuk oleh vektor A dengan sumbu x arah positif, dan A adalah nilai dari vektor A. 

Jika kita mengetahui nilai komponen-komponen vektor nya (A_x dan B_y) maka kita dapat mengetahui nilai dari vektor A dan besar sudut [latex]\theta[/latex]

Penjumlahan Vektor

Seekor kucing berjalan menuju pet shop dengan lintasan seperti pada Gambar 4. Besar perpindahan kucing dapat kita cari tanpa memerdulikan lintasan sebenarnya. Dengan dua buah vektor perpindahan AB dan BC, besar perpindahan kucing AC dapat kita cari dengan menggunakan cara geometri maupun secara analisis.

Secara geometri, terdapat dua cara yang bisa kita gunakan yaitu dengan metode kepala ke ekor (head to tail) dan metode jajar genjang (pararellogram).

Metode kepala ke ekor (head to tail)

Penjumlahan maupun pengurangan vektor dapat dilakukan menggunakan metode kepala ke ekor (head to tail) dengan cara sebagai berikut:

• Menggambar vektor dengan menyimbolkannya dengan kepala dan ekor seperti Gambar 1(a). Kita menggambar vektor dari titik mulai atau ekor (tail) dan berakhir sampai kepala (head) yang dilambangkan dengan arah panah. Besarnya vektor adalah panjang garis vektor.
• Sebelum menjumlahkan atau mengurangkan, pindahkan gambar vektor kedua sehingga ekornya bertemu dengn kepala ekor pertama. Apabila terdapat lebih dari dua vektor, maka gabungkan semua vektor dengan urutan kepala-ekor. Namun urutan penggabungannya boleh sembarang seperti pada Gambar 5(b).
• Menambahkan tanda negatif pada vektor untuk pengurangan.
• Menggambar resultan vektor dari ekor vektor pertama ke kepala vektor terakhir, sebagai contoh vektor perpindahan kucing pada gambar 5(a).

Metode jajar genjang (pararellogram)

Penjumlahan maupun pengurangan vektor dapat kita lakukan pula dengan menggunakan metode jajar genjang (pararellogram) sebagaimana Gambar 6. atau dengan cara berikut:

• Memindahkan kedua vektor yang akan kita jumlahkan sehingga berada pada satu titik tangkap yang sama dengan besar sudut tertentu.
• Membuat jajar genjang dengan kedua vektor sebagai sisinya
• Menarik garis diagonal dari titik tangkap kedua vektor, dengan panjang diagonal adalah R.

Apabila vektor yang akan dijumlahkan atau dikurangkan letaknya segaris, maka dapat diselesaikan dengan cara seperti pada Gambar 7(a) dan Gambar 7(b). Selain itu, metode kepala ke ekor (head to tail) juga dapat kita gunaka untuk operasi pengurangan vektor sebagaimana yang dicontohkan pada Gambar 7(c).

Selain dengan metode geometri di atas, penjumlahan dan pengurangan vektor juga dapat kita lakukan dengan menggunakan metode analisis. Metode analisis kita selesaikan dengan cara menguraikan vektor sehingga komponen-komponen vektor nya dapat kita ketahui. Menjumlahkan vektor secara analisis lebih akurat daripada menjumlahkan vektor secara geometri [2]. Berikut cara untuk menjumlahkan vektor secara analisis:

• Menggambar bidang koordinat kartesius.
• Menggambar vektor pada bidang koordinat dengan ekor masing-masing vektor berada di pusat koordinat.
• Menguraikan vektor ke dalam komponen-komponennya, baik komponen sumu x, y maupun z.
• Menjumlahkan semua komponen vektor pada sumbu x dan semua komponen pada sumbu y.

Perkalian Vektor

Memahami peraturan dasar perkalian vektor akan sangat membantu kamu untuk mempelajari fisika, karena penerapan perkalian vektor akan dilakukan di materi-materi selanjutnya. Salah satunya dalam mempelajari materi usaha. Perkalian vektor dapat dilakukan dalam tiga cara, diantaranya:

Perkalian vektor dengan skalar

Jika c adalah skalar, maka perkalian cA hasilnya adalah nilai |c|A.Sebagai contoh pada Gambar 9(a). Jika c adalah skalar bernilai 2, maka hasil kalinya dengan vektor A adalah 2A.

Aturan lain, jika c adalah skalar bernilai negatif, maka perkalian dengan vector positif maka hasilnya  adalah nilai yang berlawan arah dengan arah mula-mula nya. Sebagai contoh pada Gambar 9(b). Jika c adalah skalar bernilai -3, maka hasil kalinya dengan vektor A adalah -3A.

Perkalian vektor dengan vektor

Perkalian vektor dengan vektor terbagi menjadi dua. Pertama, perkalian titik (dot product) atau perkalian skalar. Kedua, perkalian silang (cross product) atau perkalian vektor.

Perkalian skalar

Perkalian skalar dari vektor A dan B pada Gmabar 10(a) dapat kita tuliskan sebagai A.B, dengan A.B adalah

[latex]A.B= AB cos \phi[/latex] (6)

dengan A adalah nilai dari vektor A dan B adalah nilai dari vektor B dan [latex]\phi[/latex] adalah sudut yang diapit kedua vektor.

Perkalian vektor merupakan perkalian antara dua besaran, yaitu nilai dari salah satu vektor dan komponen skalar dari vektor kedua yang searah vektor pertama, sebagai contoh dapat kita lihat pada Gambar 10 (b) dan Gambar 10(c). Hal ini membuktikan bahwa perkalian scalar bersifat komutatif A.B = B.A.

Berdasarkan fungsi trigonometri, Jika  sudut [latex]\phi[/latex] antara dua vektor lebih besar dari 0˚ dan kurang dari 90˚  seperti pada Gambar 11(a) maka hasil kali kedua vektor bertanda positif (+). Jika sudut [latex]\phi[/latex] antara dua vektor lebih besar dari 90˚  seperti pada Gambar 11(b) maka hasil kali kedua vektor bertanda negatif (-). Jika sudut [latex]\phi[/latex] antara dua vektor sama dengan90˚  seperti pada Gambar 11(c) maka hasil kali kedua vektor adalah 0.

Perkalian Vektor

Perkalian skalar dari vektor A dan B pada dapat dituliskan sebagai A x B yang menghasilkan vektor baru C dengan nilai [latex]C = AB sin \phi[/latex]. Berikut langkah-langkah menentukan arah dari vektor C.

• Menempatkan  A dan B dengan ekor masing-masing vektor berada disuatu titik yang sama.
• Mengarahkan jari-jari tangan kanan searah A, dengan telapak tangan menghadap B
• Lingkarkan jari-jari ke arah B.
• Arah ibu jari adalah arah dari AxB

Bagaimana jika BxA? Cara menentukan arahnya sama saja seperti di atas, hanya sja kebalikannya. Maka hasilnya juga akan berlawanan tanda dengan AxB. Hal ini membuktikan bahwa perkalian vektor bersifat antikomutatif. Lebih jelas lagi dapat kita lihat pada Gambar 12(b).

Vektor Satuan

Vektor yang memiliki nilai sama dengan 1 dan memiliki arah tertentu namun tidak memiliki dimensi dan satuan, vektor satuan dapat kita gunakan untuk menentukan arah suatu vektor. Vektor-vektor satuan yangs earah dengan sumbu x, y, z masing-masing disimbolkan dengan [latex]\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}[/latex] sebagaimaa ditunjukkan pada Gambar 13(a). Komponen dari suatu vektor dapat kita definisikan dengan menggunakan vektor satuan. Sebagai contoh vektor A pada Gambar 13(c), memiliki komponen vektor pada sumbu x yaitu [latex]A_{x}\hat{i}[/latex] dan kompnen vektor pada sumbu y yaitu [latex]A_{y}\hat{j}[/latex].

Contoh Soal

1. Jika terdapat dua vektor yang sama, maka apakah komponen vektor nya juga sama? Bagaimana dengan nilai nya? Dan bagaimana pula arah kedua vektor tersebut?

Jawab:

Komponen vektor, besar/nilai vektor dan arah kedua vektor tersebut akan sama.

2. Misalkan kamu berjalan 18 m  ke arah Timur, lalu 25 m lurus ke Utara. Setelah sampai, hitunglah seberapa jauh kamu berpindah dari titik awal kamu berjalan? Dan ke arah mana kamu berjalan dari awal dampai akhir? Selesaikan dengan menggunakan metode geometri.

Jawab:

3. Diketahui dua buah vektor [latex]\mathbf{\mathit{}A} =3\hat{i} + 5\hat{j} – \hat{k} dan \mathbf{\mathit{} B} = 5\hat{i} + 5\hat{j}[/latex] Tentukan: (a) Nilai masing-masing vektor, (b) Arah vektor B, (c) A + B

Jawab:

Demikian materi Vektor: Pengertian, Penjumlahan dan Pengurangan, Perkalian, Komponen Vektor, Vektor Satuan [Lengkap + Contoh Soal] yang sangat berguna dalam mempelajari fisika, selamat belajar!

Referensi:

[1] Halliday D., Resnick R., Walker J., Fundamental Of Physics, 10thEdition. 2014. John Wiley &Sons.

[2] Houg D. Young, Roger A. Freedman. 2015. University Physics. Sans Fransisco. Pearson Education.