Sebagai makhluk sosial, manusia mesti hidup berdampingan dan berhimpun. Walaupun demikian, di antara manusia juga ada kesamaan, baik itu kesukaan, minat, hobi, atau yang lainnya. Dalam matematika, ini bisa kita kategorikan sebagai sebuah relasi, lho. Terus, apa sih relasi itu?
Konsep Relasi
Misalkan ada 6 orang dalam satu grup kelas yang memiliki hobi di bidang olahraga. Sebut saja Fatimah, Effendi, Ali, Budi, Dinda, dan Rangga. Masing-masing memiliki kesukaan jenis olahraga yang berbeda. Dinda menyukai olahraga renang; Effendi dan Budi suka sepak bola; Ali suka badminton; Rangga, Budi, dan Fatimah senang main Tenis Meja; dan Rangga suka sepak takrau. Tapi, tidak ada yang minat dengan olahraga Voli. Hubungan antara siswa di atas dengan minat olahraganya secara sederhana dapat kita coba kelompokkan sebagai berikut.
Di gambar 1 kita akan lihat hubungan antara kelompok siswa dan minat olahraganya. Hubungan dari keduanya itulah disebut sebagai relasi. Relasinya adalah minat olahraga siswa yang dihubungkan dengan anak panah. Relasi terjadi jika tiap anggota dalam satu kelompok atau himpunan dihubungkan dengan suatu anggota dari himpunan lain. Dalam hal ini, Fatimah, Effendi, Ali, Budi, Dinda, dan Rangga adalah anggota dari himpunan siswa, sedangkan Renang, Sepak Bola, Badminton, Tenis Meja, Sepak Takrau, dan Voli adalah anggota dari himpunan minat olahraga.
Himpunan siswa sebagaimana pada gambar 1 sebagai daerah asal (domain), sedangkan himpunan minat olahraga adalah daerah kawan (kodomain). Kalau anggota himpunan kodomain berpasangan dengan anggota himpunan domain, maka anggota kodomain yang berpasangan tersebut dinamakan himpunan daerah hasil (range). Nah, dari gambar 1 berarti kelihatan ‘kan kalau range-nya terdiri dari Renang, Sepak Bola, Badminton, Tenis Meja, dan Sepak Takrau.
Biar nggak pusing, himpunan-himpunan tersebut bisa kita namakan gini. Himpunan domain kita sebut sebagai himpunan A, himpunan kodomain kita namakan himpunan B, dan range kita beri nama himpunan C. Itu semua bisa kita nyatakan sebagai berikut.
A: {Fatimah, Effendi, Ali, Budi, Dinda, Rangga}
B: {Renang, Sepak Bola, Badminton, Tenis Meja, Sepak Takrau, Voli}
C: {Renang, Sepak Bola, Badminton, Tenis Meja, Sepak Takrau}
Bentuk Diagram Relasi
Selain menggunakan diagram panah seperti gambar 1, kita juga dapat menyatakan relasi antara dua kelompok dalam bentuk himpunan pasangan berurut dan diagram Cartesius.
Relasi dapat kita nyatakan dengan himpunan pasangan berurut bila mengacu kepada kasus pada gambar 1 sebagai berikut. Himpunan Pasangan Berurut H: {(Fatimah, Tenis Meja), (Effendi, Sepak Bola), (Ali, Badminton), (Budi, Sepak Bola), (Budi, Tenis Meja), (Dinda, Renang), (Rangga, Tenis Meja), (Rangga, Sepak Takrau)}.
Diagram Cartesius. Misalkan relasi pasangan bilangan genap G: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} dan bilangan prima P: {2, 3, 5, 7, 11, 13} kita ungkapkan dalam himpunan pasangan berurutan H sebagai H: {(2,2), (4,3), (6,5), (8,7), (10,11), (12,13), (14,13)}. Relasi tersebut dapat kita nyatakan pula dalam bentuk diagram Cartesius seperti gambar di bawah ini.
Sifat-sifat Relasi
Ada beberapa sifat yang bisa kita lihat dalam relasi himpunan.
- Reflektif. Misalkan himpunan A: {2, 3, 5}. Hasil relasi kedua himpunan tersebut adalah H: {(2,2), (2,3), (3,3), (2,5), (5,2), (5,5)}. Relasi H bersifat reflektif karena setiap anggota himpunan A berpasangan (relasi) dengan dirinya sendiri, yaitu pasangan (2,2), (3,3), dan (5,5). (reflektif dari kata reflective berarti bersifat cermin).
- Simetris. Suatu himpunan disebut simetris jika setiap pasangan (x,y) ∈ R berlaku (y,x) ∈ R. Kita contohkan himpunan A: {11, 13, 15, 17}. Kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan R: {(11,13), (13,15), (13,17), (13,11), (15,13), (17,13), (15,15), (15,17), (17,15)}. Jika kita amati, (11,13) pasti ada (13,11). (13,15) pasti ada (15,13). Dan seterusnya. Ini menunjukkan himpunan R bersifat simetris.
- Transitif. Himpunan dikatakan bersifat transitif bila untuk setiap anggota himpunan (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R berlaku (x,z) ∈ R. Misalkan himpunan B: {1, 2, 3, 4} dengan relasi R: {(1,1), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)}. Relasi R bersifat transitif karena untuk (2,3) dan (3,4), kita menemukan ada anggota himpunan (2,4) di himpunan relasi R.
Ketiga sifat di atas hanya sebagian dari sifat-sifat yang ada pada relasi. Adapun sifat ireflektif (lawan dari reflektif) dan sifat asimetris (lawan dari simetris) tidak masuk ke dalam pembahasan ini.
Untuk mengasah kemampuan dan pemahaman tentang relasi, kita sajikan sebuah contoh soal.
Contoh Soal
Kita beri contoh sebuah himpunan P: {1, 2, 3} himpunan relasi R: {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Ada sifat relasi apa saja yang terdapat di himpunan tersebut?
Jawaban:
Himpunan tersebut memiliki sifat reflektif, karena setiap anggota himpunan P berpasangan dengan dirinya sendiri, yaitu (1,1), (2,2), dan (3,3). Tetapi, ia tidak bersifat simetris, sebab tidak semua pasangan (x,y) memiliki simetri pasangan (x,y). Pada relasi R, hanya pasangan (2,3) saja yang memiliki pasangan simetris (3,2).
Contoh soal lainnya
Tentu, berikut adalah soal dan jawaban dalam bentuk teks sederhana:
- Soal HOTS 1:
Diberikan relasi R pada himpunan bilangan bulat A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} dengan R = {(x, y) | x + y adalah bilangan genap}. Tentukan himpunan pasangan berurut H yang menyatakan relasi R. Jawaban HOTS 1: Himpunan pasangan berurut H: {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} - Soal HOTS 2:
Gambarkan diagram Cartesius untuk relasi S pada himpunan B = {1, 2, 3, 4} dengan S = {(m, n) | m adalah bilangan ganjil dan n adalah bilangan prima}. Jawaban HOTS 2: (Diagram Cartesius tidak dapat direpresentasikan dalam teks, namun siswa dapat membuat gambar berdasarkan relasi S yang diberikan) - Soal HOTS 3:
Seorang siswa membuat relasi T pada himpunan C = {a, b, c, d} dengan T = {(p, q) | p memiliki lebih dari satu huruf dan q adalah konsonan pertama dari p}. Tentukan himpunan pasangan berurut U yang menyatakan relasi T. Jawaban HOTS 3: Himpunan pasangan berurut U: {(b, b), (c, c), (d, d)} - Soal HOTS 4:
Apakah relasi V pada himpunan D = {5, 10, 15, 20} dengan V = {(x, y) | x habis dibagi y} bersifat simetris? Jelaskan. Jawaban HOTS 4: Relasi V bersifat simetris karena untuk setiap pasangan (x, y) dalam V, selalu ada pasangan (y, x) dalam V. - Soal HOTS 5:
Tentukan apakah relasi W pada himpunan E = {p, q, r, s} dengan W = {(m, n) | m memiliki jumlah huruf yang sama dengan n} bersifat reflektif atau tidak. Jawaban HOTS 5: Relasi W bersifat reflektif. - Soal HOTS 6:
Diberikan relasi X pada himpunan F = {2, 4, 6, 8} dengan X = {(a, b) | a dan b adalah faktor dari 12}. Tentukan apakah relasi X bersifat transitif atau tidak. Jawaban HOTS 6: Relasi X tidak bersifat transitif. Contoh: (2, 4) dan (4, 12) dalam X, tetapi (2, 12) tidak ada dalam X. - Soal HOTS 7:
Sebuah relasi Y pada himpunan G = {1, 2, 3, 4, 5} didefinisikan sebagai Y = {(m, n) | m dan n memiliki jumlah dua digit yang sama}. Tentukan apakah relasi Y bersifat asimetris atau tidak. Jawaban HOTS 7: Relasi Y bersifat asimetris karena tidak ada pasangan (m, n) dalam Y sehingga (n, m) juga ada dalam Y, dengan m ≠ n.
Referensi:
- Kwong, H. (2020, December 21). LibreTexts. Retrieved from Mathematics LibreTexts: https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/Book%3A_A_Spiral_Workbook_for_Discrete_Mathematics_(Kwong)/07%3A_Relations/7.02%3A_Properties_of_Relations
- Sinaga, B., Sinambela, P. N., Sitanggang, A. K., Hutapea, T. A., Sinaga, L. P., Manullang, S., . . . Bayuzetra, Y. T. (2014). Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Semester 1. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.