Metode Analitis Lanjutan Berbasis Teori Green Untuk Transmisi Cahaya Melalui Struktur Subwavelength Konfigurasi Ganda Dalam Film Logam

.

.

Latar Belakang

  Interaksi Antara gelombang elektromagnetik dan struktur subwavelength merupakan bidang penelitian yang sedang aktif untuk 10 tahun terakhir dikarenakan fenomena mekanika gelombang yang luar biasa seperti,transisi luar biasa melalui array 2D dan anomali absorpsi dalam spektrum pantulan dan transmisi kisi kisi logam 1D dalam periode kecil.Selain itu struktur juga dapat dimanfaatkan untuk memandu atau melokalisasi gelombang elektromagnetik.Maka dari itu selain untuk kepentingan akademik studi ini juga bertujuan untuk menemukan potensi pengaplikasian dalam fisika optik.

Dalam studi ini salah satu hal yang penting adalah metode yang digunakan,kali ini ada beberapa metode yang digunakan seperti untuk menyelesaikan persamaan gelombang digunakan metode mode perluasan partikular pada batas tertentu dengan Forious series untuk celah tunggal celah berpola dengan alur dan celah ganda.Dalam metode ini Semua 

Mode yang diperluas secara internal digabungkan dalam K-Space ,sedangkan kopling bidang antara bukaan sering digambarkan sebagai proyeksi mode

  Dalam studi ini juga digunakan metode Neerhoff dan Mur untuk membuktikan bahwa Selain celah tunggal metode ini juga dapat menganalisis hal yang lebih kompleks serta menggunakan teorema green untuk membantu menganalisis permasalahan.

.

Pembahasan

Formulasi medan harmonik terhadap waktu

Untuk menganalisis perpindahan melalui struktur sub panjang gelombang di sistem dua dimensi, digambarkan sebuah gelombang bidang terpolarisasi $p$ di daerah kejadian (incident region) yang merambat di bidang $x-z$ menuju daerah struktur (structure region) ke daerah transmisi (transmission region) (digambarkan di Gambar 1.). Daerah struktur sebenarnya bisa terbentuk dari satu atau lebih sub daerah, tergantung keinginan; koordinat asalnya kemudian akan ditentukan semestinya. Dalam esai ini, hanya akan dipertimbangkan kejadian yang tegak lurus. Lalu, tiap daerah diisi dengan ruang hampa demi kemudahan. Dengan metode analitik, akan ditemukan medan elektromagnetik di semua daerah. Namun, kejadian yang tidak ‘normal’ (tidak tegak lurus maupun sejajar) atau penggunaan dielektrik juga tetap bisa digunakan dalam metode analitik ini.

.

Gambar 1. Skema daerah kejadian, struktur, dan transmisi. Sebuah gelombang terpolarisasi $p$ merambat dari daerah kejadian ke daerah struktur

.

Diasumsikan medan magnet yang terpolarisasi itu harmonik terhadap waktu dan konstan di arah $y$ (karena objek yang dihitung diukur di bidang $x-z$).

.

$H\left(x,y,z,t\right)=\hat{j}U\left(x,z\right)e^{-i\omega t}$

.

dimana $U\left(x,z\right)$ adalah fasor skalar akibat polarisasi di sistem dua dimensi. Biarkan impedansi ruang hampa ${\eta }_0$ dinormalisasi dan nilainya merata di seluruh bidang. Setelah $U\left(x,z\right)$ didapatkan, medan listrik $E=\hat{x}{E}_x+\hat{y}{E}_y+\hat{z}{E}_z$ dihasilkan dengan:

.

$E_x=-\frac{i}{k_0}{\partial }_{z}U\left(x,z\right),\text{.}{E}_y=0,\text{.}{E}_z=\frac{i}{k_0}{\partial }_{x}U\left(x,z\right)$

.

Diasumsikan material yang digunakan dalah konduktor listrik sempurna, dengan itu, maka E yang tegak lurus permukaan akan hilang.

.

${\partial }_{n}U=0$ n adalah vektor tegak lurus permukaan

.

Tiap sub daerah direpresentasikan sebagai $U_j(x,z)$ dengan $j=1,2,\dots$ Di daerah kejadian, medan ini bisa diuraikan menjadi:

.

$U_1(x,z)=U^i(x,z)+U^r(x,z)+U^d(x,z)$

.

Medan skalar $U^i$ merepresentasikan gelombang insiden. Medan skalar $U^r$ menunjukkan gelombang pantul seakan tidak ada bukaan antara daerah kejadian dengan struktur. Medan skalar $U^d$ menjelaskan difraksi gelombang di daerah insiden akibat adanya bukaan.

.

$U^i(x,z)=e^{i{k}_{0}z}$

$U^r(x,z)=e^{(i{k}_{0}z+i\phi )}$

.

$\phi$ adalah beda fase dari medan insiden. Anggap antarmuka terjadi di $z=z_b$. Kondisi batas ${\partial }_{n}U=0$ juga terjadi. Didapatkan:

.

${\left({\partial }_z{U}^i\left(x,z\right)\right|}_{z=z_b}+{\left({\partial }_z{U}^r\left(x,z\right)\right|}_{z=z_b}=0untuk-\infty <x<\infty$

.

Antara dua daerah tetangga, tangensial dari H dan E di bukaan struktur adalah berkelanjutan. Di antarmuka $z=z_b$, antara daerah $j$ dengan $j+1$, didapatkan:

.

${\left(U_j\left(x,z\right)\right|}_{z={z_{bj}}^{+}}={\left(U_{j+1}\left(x,z\right)\right|}_{z={z_{bj}}^{-}}$

.

${\partial }_z{\left(U_j\left(x,z\right)\right|}_{z={z_{bj}}^{+}}={\left({{\partial }_{z}U}_{j+1}\left(x,z\right)\right|}_{z={z_{bj}}^{-}}$

.

Aplikasi teorema Green

Diasumsikan medan yang terdifraksi di daerah kejadian dan transmisi hilang di tak terhingga. Bisa diekspresikan sebagai:

.

$Uj\left(x,z\right)={\int }_{bukaan}^{}\left(G_j{\partial }_n{U}_j-U_j{\partial }_n{G}_j\right)ds,$

.

$G_j$ adalah fungsi Green untuk daerah tersebut.

$G\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right)=\frac{i}{4}{H_0}^{\left(1\right)}\left(k_0{R}^{‘}\right)$

Yang mana ${H_0}^{\left(1\right)}\left(k_0{R}^{‘}\right)$ adalah fungsi Hankel jenis pertama, dan

.

$R‘=\sqrt{{\left(x-x‘\right)}^2+{\left(z-z‘\right)}^2}$

.

Fungsi ${H_0}^{\left(1\right)}\left(k_0{R}^{‘}\right)$ adalah kompleks dan magnitudonya terurai dengan ${\left(R^{‘}\right)}^{-1/2}$ saat $R^{‘}\to \infty$.

Di dalam masalah interaksi dengan gelombang, sistem selalu dibatasi dan refleksi dari poin sumber seharusnya dipertimbangkan. Karena G mewakili medan magnet, maka mirip dengan persamaan ${\partial }_{n}U=0$ setiap batas harus membiarkan ${\partial }_{n}G$ menghilang, yaitu:

.

${\partial }_{n}G=0$ di permukaan konduktor

.

Dibuatlah tiga tipe batas-batas yang tergambar di Gambar 2. Untuk tipe pertama di Gambar 2(a), hanya ada satu batas di $z=z_b$. Sumber imajiner yang bersesuaian kemudian diletakkan di poin $\left(x^{‘},z^{‘‘}\right)$, yang mana $z^{‘‘}=2z_b-z^{‘}$. Superposisi radiasi dari sumber real dan imajiner menghasilkan fungsi Green yang pertama:

.

$G^{\left(1\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};z_b\right)=\frac{i}{4}\left[{H_0}^{\left(1\right)}\left(k_0{R}^{‘}\right)+{H_0}^{\left(1\right)}\left(k_0{R}^{‘‘}\right)\right]$

untuk $-\infty <x,x^{‘}<\infty$ dan $\left(z^{‘}-z_b\right)\left(z-z_b\right)>0$,dimana:

.

$R‘‘=\sqrt{{\left(x-x‘\right)}^2+{\left(z+z^{‘}-2z_b\right)}^2}$

.

Gambar 2. Tipe-tipe batas yang memungkinkan. (a) batas horizontal di $z=z_b$, (b) batas vertikal di $x_s-s$ dan $x_s+s$, (c) kombinasi batas horizontal dan vertikal

.

Di gambar 2(b), tiap penambahan poin sumber di salah satu sisi tentunya akan mengganggu keseimbangan dan tidak akan memenuhi ${\partial }_{n}G=0$. Maka dari itu, perlu ditambah poin di sisi yang berseberangan lagi untuk seakan-akan untuk menyeimbangkan. Penambahan poin ini menciptakan ketidakseimbangan lagi dan proses ini dilakukan tak terhingga kali untuk menciptakan kondisi batas final. Didapatkan fungsi Green tipe kedua:

.

$G^{\left(2\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};z_b\right)=\frac{i}{4}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{H_0}^{\left(1\right)}\left(k_0{R^{‘}}_m\right)$

untuk $x_s-s<x,x^{‘}<x_s+s,$dimana:

${R‘}_m=\sqrt{{\left(x-{x^{‘}}_m\right)}^2+{\left(z-z‘\right)}^2}$, dan

.

${x^{‘}}_m=\left(1-{\left(-1\right)}^m\right)x_s+2ms+{\left(-1\right)}^{m}x‘$

.

Dalam paper yang dipilih ini, penulis mengusulkan ruang terbatas seperti di Gambar 2(c). Batas horizontalnya di $z=z_b$ dan 2 batas vertikal yang terpisah sejauh $2s$. Di samping sumber imajiner yang tak terhingga di level yang sama dengan sumber real, terdapat juga sumber imajiner yang tak terhingga di arah yang berseberangan, bersesuaian dengan batas horizontal. Hasilnya, didapatkan fungsi Green tipe ketiga:

.

$G^{\left(3\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};{x_s,s,z}_b\right)=\frac{i}{4}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{{[H}_0}^{\left(1\right)}\left(k_0{R^{‘}}_m\right)+{H_0}^{\left(1\right)}\left(k_0{R^{‘‘}}_m\right)]G^{\left(3\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};{x_s,s,z}_b\right)=G^{\left(2\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};x_s,s\right)+G^{\left(2\right)}\left(x,z;x^{‘},2z_b-z^{‘};x_s,s\right),$

.

dimana:

.

${R‘‘}_m=\sqrt{{\left(x-{x^{‘}}_m\right)}^2+{\left(z+z^{‘}-2z_b\right)}^2}$

.

Dengan fungsi Green tipe ini, mode gelombang pandu didalam alur dapat dijelaskan. Berbeda dengan tipe 2, mode ini asimetris akibat adanya batas horizontal.

.

Celah Tunggal

  Sebuah celah dengan lebar 2a dan ketebalan b seperti ditunjukkan pada gambar dibawah.Sistem dibagi menjadi 3 Daerah dimana koordinat asalnya berada di pusat celah

Dengan z=b merupakan titik masuk dan z=0 adalah titik keluar yang diasumsikan akan terjadi korsleting .batas virtual yang menghasilkan fungsi green pada antarmuka yang harus memenuhi persamaan berikut.

${\delta }_z,G_1\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right){|}_{z^{‘}\to 0^{-}}=0$

${\delta }_z,G_2\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right){|}_{z^{‘}\to 0^{-}}=0$

Oleh karena itu,persamaan diatas adalah tipe pertama dan dapat ditulis sebagai berikut.

$G1(x,z;x‘,z‘)=G\left(1\right)(x,z;x‘,z‘;b),$

$G3(x,z;x‘,z‘)=G\left(1\right)(x,z;x‘,z‘;0).$

              Pada Daerah Kedua ,kami mengasumsikan batas virtual di bukaan masuk dan keluar,G2 pada daerah ini menjadi tak terbatas pada arah z dan diperoleh fungsi green dari tipe kedua adalah:

Dengan fungsi green explisit dan batas yang telah ditentukan persamaan integralnya adalah sebagai berikut

Dimana kita mendefinisikan batas medan dan derivative normalnya pada bukaan masuk z=b dan bukaan keluar z=0 sebagai

Kemudian ,Kita menggunakan batas kondisi tersebut untuk menghasilkan persamaan integral

Dimana 

Untuk memverifikasi metode analitis ini, kami mengasumsikan 0=560 nmdan 2a = 40 nm;Jumlah subinterval yang digunakan adalah N=8.Dengan solusi yang dihasilkan , transmisi dari cahaya insiden melalui celah adalah 

.

4. Slit patterned with grooves (Celah berpola dengan alur)

  Bagian ini menunjukkan metode analisis untuk celah subwavelength yang berpola dengan alur, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 5. Ada L pasang alur dengan lebar 2g dan tinggi h berpola pada kedua sisi celah keluar sedangkan jarak separasinya adalah p.

.

Gambar 4: Transmisi $T_s$ sebagai fungsi dari ketebalan film b untuk ${\lambda }_0$ = 560 nm dan 2a = 40 nm.

.

Gambar 5: Skema celah subwavelength lebar 2a dan tebal b yang berpola dengan pasangan L alur lebar 2g dan tinggi h; jarak pemisahan adalah p.

.

   Sama seperti kasus celah tunggal, ada tiga wilayah untuk analisis. Fungsi Green G1 dan G3 berbagi hal yang sama formulasi sebagai Persamaan (27). Untuk area celah di wilayah II, G2 tetap menjadi fungsi Green untuk tipe kedua; Untuk daerah alur, bagaimanapun, G2 termasuk dalam tipe ketiga karena batasnya pada z = h. Karena fungsi Green adalah independen untuk celah dan setiap alur, kita dapat menggunakan fungsi persegi panjang untuk mewakili karakteristik spasial G2:

                 $G_2\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right)=rect\left(\frac{x}{2a}\right)rect\left(\frac{x^{‘}}{2a}\right)G^{\left(2\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};0,a\right)$

$+{\sum }_{l=-L,l\ne 0}^{L}rect\left(\frac{x-lp}{2g}\right)rect\left(\frac{x^{‘}-lp}{2g}\right)G^{\left(3\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};lp,g,h\right)$

Sama seperti kasus celah tunggal, representasi integral untuk $U_j$ diberikan dalam Persamaan. (12) di setiap daerah menjadi :

$U^d\left(x,z\right)=-\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{G}_1{\left(x,z;x^{‘},b\right)DU}_b\left(x^{‘}\right)d{x}^{‘},$

$U_3\left(x,z\right)=\underset{{-L}_P-g}{\overset{L_P+g}{\int }}{G}_1{\left(x,z;x^{‘},0\right)DU}_0\left(x^{‘}\right)d{x}^{‘},$

$U_2\left(x,z\right)=-\underset{{-L}_P-g}{\overset{L_P+g}{\int }}\left[{G_1\left(x,z;x^{‘},0\right)DU}_0\right(x^{‘})-U_0\left(x^{‘}\right){\partial }_z,G_2{\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to 0+}]d{x}^{‘}$

                         $+\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\left[{G_1\left(x,z;x^{‘},b\right)DU}_b\right(x^{‘}\left){-U}_b\right(x^{‘}){\partial }_z,G_2{\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to b+}]d{x}^{‘}$

.

  Kondisi batas di Persamaan. (11a) kemudian menghasilkan satu set persamaan integral simultan:

$2U_b^i\left(x\right)-U_b\left(x\right)=\underset{-a}{\overset{a}{\int }}{G}_1{\left(x,b;x^{‘},b\right)DU}_b\left(x^{‘}\right)d{x}^{‘},$

$U_b\left(x\right)=\underset{{-L}_P-g}{\overset{L_P+g}{\int }}{G}_3{\left(x,0;x^{‘},0\right)DU}_0\left(x^{‘}\right)d{x}^{‘},$

$U_2\left(x\right)=-\underset{{-L}_P-g}{\overset{L_P+g}{\int }}\left[{G_2\left(x,b;x^{‘},0\right)DU}_0\right(x^{‘})-U_0\left(x^{‘}\right){\partial }_z,G_2{\left(x,b;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to 0+}]d{x}^{‘}$

$+\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\left[{G_2\left(x,b;x^{‘},b\right)DU}_b\right(x^{‘}\left){-U}_b\right(x^{‘}){\partial }_z,G_2{\left(x,b;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to b-}]d{x}^{‘}$

$U_0\left(x\right)=+\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\left[{G_2\left(x,0;x^{‘},b\right)DU}_b\right(x^{‘}\left){-U}_b\right(x^{‘}){\partial }_z,G_2{\left(x,0;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to b-}]d{x}^{‘}$

$-\underset{{-L}_P-g}{\overset{L_P+g}{\int }}\left[{G_2\left(x,0;x^{‘},0\right)DU}_b\right(x^{‘}\left){-U}_b\right(x^{‘}){\partial }_z,G_2{\left(x,0;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to 0+}]d{x}^{‘}$

  Mirip dengan solusi konfigurasi celah tunggal, kami dapat menemukan yang tidak diketahui dan bidang EM di setiap wilayah. Misalkan ${\lambda }_0$ = 560 nm, 2a = 2g = 40 nm, b = 250 nm, h = 100 nm, p = 500 nm, dan L = 10; nomor dari subinterval untuk celah dan bukaan alur keduanya N = 8. Kami mendefinisikan distribusi sudut bidang di wilayah III sebagai

.

$f\left(\theta \right)={\left(\pi r\right)}^{\frac{1}{2}}\left|U_3(r,\theta )\right|$

.

Dimana r = ${\left(x^2+z^2\right)}^{\frac{1}{2}}$ and $\theta$ = ${\tan }^{-1}.\left(z∕x\right)$. Resultan $f\left(\theta \right)$ ditunjukkan pada gambar 6 dengan r = 20$\mu m.$

Gambar 6: Distribusi sudut dari metode analitik (kurva biru) dan dari simulasi FDTD ketika ukuran sel adalah 5 nm (kurva merah), 2,5 nm (kurva hijau), dan 1,25 nm (kurva cyan). Inset: tampilan distribusi sudut yang diperbesar dekat sudut θ = ${270}^0$

.

Double slit (Celah Ganda)

  Dalam konfigurasi ini, celah ganda dengan lebar 2a dan tebal b ditempatkan di kedua sisi koordinat asal dan jarak tepi ke tepi adalah 2d, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.

Di wilayah I dan III, fungsi Green G1 dan G3 berbagi bentuk yang sama dengan Persamaan. (27). Di wilayah II, rumusan G2 mirip dengan konfigurasi celah tunggal tetapi bertanggung jawab atas bidang di dalam dua celah. Untuk merepresentasikan spasial karakteristik G2, fungsi persegi panjang digunakan :

$G_2\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right)=rect\left(\frac{x+d-a}{2a}\right)rect\left(\frac{x^{‘}+d-a}{2a}\right)G^{\left(2\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};-d+a,a\right)$

$+rect\left(\frac{x-d+a}{2a}\right)rect\left(\frac{x^{‘}-d+a}{2a}\right)G^{\left(2\right)}\left(x,z;x^{‘},z^{‘};d-a,a\right)$  

.

Gambar 7: Skema celah ganda dengan lebar 2a dan tebal b; jarak ujung-ke-ujung adalah 2d.

.

Representasi integral untuk $U_j$diberikan dalam Persamaan. (12) di setiap daerah menjadi:

.

$U^d\left(x,z\right)=-\underset{-d}{\overset{d}{\int }}{G}_1{\left(x,z;x^{‘},b\right)DU}_b\left(x^{‘}\right)d{x}^{‘},$

$U_3\left(x,z\right)=\underset{-d}{\overset{d}{\int }}{G}_3{\left(x,z;x^{‘},0\right)DU}_0\left(x^{‘}\right)d{x}^{‘},$

$U_2\left(x,z\right)=-\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\left[{G_2\left(x,z;x^{‘},0\right)DU}_0\right(x^{‘})-U_0\left(x^{‘}\right){\partial }_z,G_2{\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to 0+}]d{x}^{‘}$

$+\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\left[{G_2\left(x,z;x^{‘},b\right)DU}_b\right(x^{‘}\left){-U}_b\right(x^{‘}){\partial }_z,G_2{\left(x,z;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to b-}]d{x}^{‘}$

.

Kondisi batas yang diberikan dalam Persamaan. (11a) menghasilkan satu set persamaan integral simultan:

.

$2U_b^i\left(x\right)-U_b\left(x\right)=\underset{-d}{\overset{d}{\int }}{G}_1{\left(x,b;x^{‘},b\right)DU}_b\left(x^{‘}\right)d{x}^{‘},$

$U_0\left(x\right)=\underset{-d}{\overset{d}{\int }}{G}_3{\left(x,0;x^{‘},0\right)DU}_0\left(x^{‘}\right)d{x}^{‘},$

$U_b\left(x\right)=-\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\left[{G_2\left(x,b;x^{‘},0\right)DU}_0\right(x^{‘})-U_0\left(x^{‘}\right){\partial }_z,G_2{\left(x,b;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to 0+}]d{x}^{‘}$

$+\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\left[{G_2\left(x,b;x^{‘},b\right)DU}_b\right(x^{‘}\left){-U}_b\right(x^{‘}){\partial }_z,G_2{\left(x,b;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to b-}]d{x}^{‘}$

$U_0\left(x\right)=+\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\left[{G_2\left(x,0;x^{‘},b\right)DU}_b\right(x^{‘}\left){-U}_b\right(x^{‘}){\partial }_z,G_2{\left(x,0;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to b-}]d{x}^{‘}$

$-\underset{-d}{\overset{d}{\int }}\left[{G_2\left(x,0;x^{‘},0\right)DU}_b\right(x^{‘}\left){-U}_b\right(x^{‘}){\partial }_z,G_2{\left(x,0;x^{‘},z^{‘}\right)|}_{z^{‘}\to 0+}]d{x}^{‘}$

Yang tidak diketahui juga dapat ditemukan dengan solusi yang sama dengan konfigurasi celah tunggal, begitu pula bidang EM di masing-masing wilayah.

.

  Dalam konfigurasi tersebut, kita misalkan ${\lambda }_0$ = 633 nm, 2a = 80 nm, b = 200 nm, 2d = 480 nm, dan N = 16 untuk setiap bukaan celah. Ditunjukkan snapshot dari bidang Re {$U_3$ (x, z) exp (−iωt)} pada Gambar. 8 (a) pada fase temporal ωt = 0,95 × 2π; fase temporal dipilih ketika bidang pusat di permukaan keluar adalah sekitar nol. Untuk membandingkan, dilakukan FDTD simulasi dengan ukuran sel 5 nm, dan menunjukkan snapshot dari distribusi lapangan pada Gambar. 8 (b). Waktu simulasi adalah dipilih juga untuk bidang pusat menjadi sekitar nol. Kami mendapatkan bahwa profil dan besarnya bidang dari keduanya metode analitis dan simulasi sangat cocok.

.

Gambar 8: (a) Distribusi bidang spasial dari resultan Re {U3 (x, z) exp (−iωt)} dari metode analitik dan (b) snapshot dari medan magnet dari simulasi FDTD.

Gambar 9: Distribusi amplitudo sepanjang garis vertikal x = 0 dari metode analisis (kurva biru) dan dari Simulasi FDTD (kurva merah).

.

Celah Ganda Berkeluk

Konfigurasi terakhir adalah celah ganda berlekuk, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10; dalam konfigurasi, sejumlah file logam pusat antara dua celah dihilangkan. Dari aspek metode analitik, konfigurasinya bisa dianggap sebagai celah ganda yang dihubungkan secara serial ke celah tunggal dengan lebar yang sama dengan jarak pemisah. Wilayah struktur dibagi menjadi dua sub-wilayah untuk mewakili medan magnet dua komponen ini.

Insiden dan wilayah transmisi dalam konfigurasi direpresentasikan sebagai wilayah I dan IV, masing-masing sesuai dengan fungsi Green

Fungsi Green di wilayah II ) sama dengan konfigurasi celah ganda. Fungsi Green di wilayah iii diakibatkan oleh dua kondisi batas yang berbeda pada antarmuka z = 0 dan z = −h.

Gambar 10: Skema celah ganda menjorok. Dalam konfigurasinya, region struktur dibagi menjadi dua sub-region terdiri dari celah ganda dan celah tunggal, masing-masing. Lebar, ketebalan, dan jarak pemisahan celah ganda adalah 2a, b, dan 2d, sedangkan h adalah ketebalan celah tunggal. .

fungsi Green yang sesuai pada antarmuka harus memenuhi

Karena wilayah tersebut juga dibatasi secara vertikal pada | x | = d, adalah tipe ketiga. Oleh karena itu, kami memberikan fungsi Green untuk antarmuka

Pada z = −h, asumsi batas maya untuk bukaan celah ganda menghasilkan kondisi tak terbatas di z arah sehubungan dengan antarmuka. Oleh karena itu, fungsi Green yang sesuai adalah tipe kedua,

Dengan fungsi Green eksplisit dan syarat batas di Persamaan. (11b), representasi integral untuk diberikan pada Persamaan. (12) di setiap wilayah dapat dinyatakan sebagai

di mana, selain bidang batas dan turunan normalnya, kami mendefinisikannya pada antarmuka z = −h sebagai

Kemudian, kami menggunakan kondisi batas di Persamaan. (11a) untuk z = b, z = 0, dan z = −h menghasilkan himpunan persamaan integral simultan:

Kami mendapatkan bahwa ada enam persamaan untuk bilangan yang sama dari yang tidak diketahui . Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat diselesaika denagn metode yang mirip denagn celah tunggal, dan dapat disubtitusikan pada persamaan yang telah didapat diatas. Kami memperhatikan bahwa, dengan struktur berlekuk, bidang yang ditransmisikan lebih fokus daripada di konfigurasi celah ganda,Metode analisis menunjukkan akurasi untuk konfigurasi hybrid. Menariknya, terlihat bahwa amplitudo medan pada z = 0 meningkat sebesar 40,5%, dibandingkan dengan konfigurasi celah ganda. Oleh karena itu, konfigurasi ini memang mampu meningkatkan transmisi secara signifikan agar memiliki nilai akademik dan potensi aplikasi yang potensial.

Penjelasan sebeelumnya telah menunjukkan bahwa formulasi lapangan yang ketat di setiap wilayah berdasarkan teorema Green, mampu memberikan solusi yang akurat untuk masalah interaksi cahaya dengan berbagai konfigurasi struktur subwavelength. Pada bagian ini, akan membahas penerapan metode ini untuk interpretasi dan studi fisik lebih lanjut.

Dalam konfigurasi celah tunggal, karena lebarnya jauh lebih kecil daripada panjang gelombang, dapat diasumsikan bahwa bidang batas $U_b\left(x\right)$ dan$U_0\left(x\right),$ dan turunan normalnya$D{U}_b\left(x\right)$ dan $D{U}_0\left(x\right),$ adalah konstan [24, 40]. Pendefinisian integral dari fungsi Green di Persamaan. (31a) dan (31b) sebagai

$I=\frac{i}{2}{\int }_{-a}^a{H}_0^{\left(1\right)}\left(k_0\left|x\right|\right)dx$

Selain itu, m ≥ 1 suku orde tinggi G2 dapat diabaikan. Dari Eq. (31), kemudian didapatkan persamaan simultan yang disederhanakan:

$2U_b^1-U_b=D{U}_{b}I$

Gambar 11: (a) Distribusi bidang spasial dari $expRe\left\{U_3\right(x,z)$ yang dihasilkan $(-i\omega t)\}$ dan $Re\left\{U_4\right(x,z\left)exp\right(-i\omega t\left)\right\}$ dan (b) snapshot medan magnet simulasi dari simulasi FD

2.5

.

Analytical FDTD

.

2.0

.

amplitude

1.5

.

1.0

.

0.5

.

.

                                                                            −2.5        −2        −1.5         −1.0     −0.50

z (m)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Gambar 12: Distribusi amplitudo di sepanjang garis vertikal x = 0 dari metode analitik (kurva biru) dan dari simulasi FDTD (kurva merah).

$U_0=D{U}_{0}I,$

$U_b=-\frac{i}{2k_0}{e}^{i{k}_{0}b}D{U}_0+\frac{1}{2}{e}^{i{k}_{0}b}{U}_0+\frac{i}{2k_0}D{U}_b+\frac{1}{2}{U}_b,$

$U_0=-\frac{1}{2k_0}D{U}_0+\frac{1}{2}{e}^{i{k}_{0}b}{U}_b+\frac{i}{2k_0}{e}^{i{k}_{0}b}D{U}_b+\frac{1}{2}{U}_0$

Penyederhanaan formulasi mengarah ke solusi analitik eksplisit untuk yang tidak diketahui:

$U_0=\frac{4i{k}_{0}I{U}_b^i{e}^{i{k}_{0}b}}{\begin{array}{c}{\left(k_{0}I+i\right)}^2-{\left(k_{0}I-i\right)}^2{e}^{i2k_{0}b}\\ \end{array}},$

$D{U}_0=\frac{4i{k}_0{U}_b^i{e}^{i{k}_{0}b}}{{\left(k_{0}I+i\right)}^2-{\left(k_{0}I-i\right)}^2{e}^{i2k_{0}b}},$

$U_b=-\frac{2U_b^i\left[\left(1-e^{i2k_{0}b}\right)-i{k}_{0}I\left(1+e^{i2k_{0}b}\right)\right]}{{\left(k_{0}I+i\right)}^2-{\left(k_{0}I-i\right)}^2{e}^{i2k_{0}b}}$

$D{U}_b=\frac{2k_0{U}_b^i\left[\left(1-e^{i2k_{0}b}\right)k_{0}I+i\left(1+e^{i2k_{0}b}\right)\right]}{{\left(k_{0}I+i\right)}^2-{\left(k_{0}I-i\right)}^2{e}^{i2k_{0}b}}$

Berdasarkan Eq. (29c), penyederhanaan mengurangi bidang di dalam celah untuk

$U_s\left(z\right)\equiv U_2\left(x,z\right)=\frac{i}{2k_0}[-D{U}_0{e}^{ikoz}+U_0{\partial }_{Z^{‘}}{e}^{iko\left(z-Z^{‘}\right)}{|}_{Z^{‘}\to 0}+D{U}_b{e}^{iko\left(b-z\right)}-U_b{\partial }_{z^{‘}}{e}^{iko\left(z^{‘}-z\right)}{|}_{Z^{‘}\to b^{-}}]$,

Dalam subtitusi solusi, diperoleh

$U_s\left(z\right)=U_b^i{e}^{i{k}_{0}b}{t}_0\frac{e^{-ikoz}-r_0{e}^{ikoz}}{1-r_0^2{e}^{i2kob}}$

Dimana $t_0=\left(2i\right)/(k_{0}I+i$) dan r_0= $-(k_{0}I-i)/(k_{0}I+i).$ Ditemukan bahwa representasi lapangan di dalam celah sebenarnya menggambarkan resonansi seperti Fabry-Pérot yang hasil dari putaran gelombang propagating [15–17]. Metode analitik menghasilkan koefisien transmisi$t_0$ untuk gelombang bidang insiden melalui $z=b$ pembukaan dan koefisien pantulan r_0 di kedua bukaan z = b dan z = 0. Mengingat bidang listrik $E_{xs}\left(z\right)=\left(\frac{-i}{k_0}\right){\partial }_z{U}_s\left(z\right)$, transmisi yang dihasilkan $Ts=Re\{-E_{xs}(z\left)U_z^{*}\right(z\left)\right\}$sebagai fungsi ketebalan film b konsisten dengan yang ditunjukkan pada Gambar 4.

Untuk konfigurasi celah berpola dengan alur, dapat diaasumskan bahwa bidang batas dan turunan normal di setiap pembukaan alur konstan. Dalam hal ini, $U_0^l=U_0\left(x\right)danD{U}_0^l=D{U}_0\left(x\right)$ketika $|x-lp|<s$, di mana a ketika $l=0$dan g sebaliknya. Integral dari fungsi Green G3 di Eq. (36b) untuk gelombang terpancar dari pembukaan k $(k=-L,...L)$ ditambah dengan pembukaan $l$ adalah

$I_{l,k}=\frac{i}{2}{\int }_{kp-s}^{kp+s}{H}_0^{\left(1\right)}\left(k_0\left|x-lp\right|\right)dx.$

Perlu dicatat bahwa $I_{0,0}=I$ dalam kasus celah tunggal. Dengan mengangabaikan orde tinggi dari fungsi Green G2 untuk celah dan alur, persamaan simultan dari Eq. (36) ke:

$2U_b^i-U_b=D{U}_{b}I$

$U_0^l=\sum _{K=-L}^{L}D{U}_0^k{I}_{l,k},$

$U_b=-\frac{i}{2k_0}{e}^{ikob}D{U}_0^0+\frac{1}{2}{e}^{ikob}{U}_0^0+\frac{i}{2k_0}D{U}_b+\frac{1}{2}{U}_b$

$U_0^0=-\frac{i}{2k_0}D{U}_0^0+\frac{1}{2}{e}^{ikob}{U}_b+\frac{i}{2k_0}D{U}_b{e}^{ikob}D{U}_b+\frac{1}{2}{U}_0^0$

$U_0^l=-\frac{i}{2k_0}\left(1+e^{i2koh}\right)D{U}_0^l+\frac{1}{2}\left(1+e^{i2koh}\right)U_0^l$ untuk $l\ne 0$

Dengan persamaan eksplisit, yang tidak diketahui sudah siap untuk diselesaikan. Penyederhanaan tersebut mengurangi bidang di wilayah III untuk

$U_3\left(x,z\right)=\sum _{l=-L}^{L}D{U}_0^l{\int }_{lp-s}^{lp+s}{G}_3\left(x,z;x^{‘},0\right)d{x}^{‘}.$

Hasilnya ,karena lebar pembukaan jauh lebih kecil daripada panjang gelombang, integral untuk setiap (x, z) jauh dari bukaan ialah konstan. Bidang yang dihasilkan U₃ (x, z) dapat dianggap sebagai radiasi dari sumber titik pada setiap pembukaan [32]. Oleh karena itu, metode ini menyediakan solusi analitis untuk mempelajari difraksi dalam konfigurasi struktur subwavelength bermotif alur. Sedangkan untuk konfigurasi celah ganda, pendekatan serupa dapat dilakukan untuk menyederhanakan persamaan simultan. Dalam konfigurasi, dapat diharapkan bahwa perkiraan akan menghasilkan resonansi seperti Fabry-Pérot yang serupa di dalam celah ke konfigurasi celah tunggal, sementara konektor tambahan antara celah terjadi [43]. Oleh karena itu, perkiraan akan membantu untuk menganalisis dan memodelkan mekanisme serta transmisi kopling celah ganda. Dalam konfigurasi celah ganda berindentasi, analisis tidak akan sederhana karena, di wilayah III, mode waveguides dari bidang batas pada antarmuka z = 0 asimetris, sedangkan yang ada di antarmuka z = −h simetris. Selain itu, kedua mode orde tinggi harus diperhitungkan karena lebar celah lebih besar dari setengah panjang gelombang. Namun demikian, kita masih dapat melihat mekanisme konektor kompleks yang menarik antara antarmuka di wilayah III dengan formulasi dan perkiraan. Metode ini akan dapat memberi kesempatan untuk studi lebih lanjut tentang pemodelan manipulasi cahaya dan peningkatan transmisi dengan celah ganda inden atau konfigurasi hibrida terkait. Metode ini juga bisa mencakup logam mulia, seperti Ag, Al, Au, dan Cu, untuk studi efek plasonik. Untuk logam mulia, frekuensi plasma terbatas dan koefisien redaman tidak dapat diabaikan dalam rezim cahaya yang terlihat [59] sedemikian rupa sehingga fungsi dielektrik harus diperhitungkan. Karena metode ini secara ketat didasarkan pada teorema green ini menunjukkan bahwa formulasi medan magnet akan mirip dengan Eq. (12); di sisi lain, fungsi Green yang diperlukan untuk setiap wilayah dapat diperoleh dari metode gambar yang direvisi yang mempertimbangkan fungsi dialektrik [60]. Dalam hal ini, perambatan gelombang dalam struktur menjadi dari mode waveguide PEC ke mode waveguide plasmonik [57, 58] dan hamburan oleh bukaan yangmencakup mode gelombang silinder dan mode gelombang plasmon permukaan [61, 62]. Berbeda dengan metode analitik untuk efek plasmonik yang memerlukan simulasi tambahan untuk mengekstrak parameter pemodelan celah dan alur [63, 64], metode ini dapat secara langsung memberikan solusi untuk masalah tanpa simulasi.

Kesimpulan

  Dengan Menggunakan Metode Neerhoff dan Mur berdasarkan Teorema green Untuk membuktikan bahwa selain  celah tunggal,metode ini juga dapat diterapkan untuk menganalisis hal yang lebih kompleks seperti celah berpola dengan alur ,celah ganda dan celah ganda beralur .Dalam setiap bagian,sistem dibagi menjadi tiga yaitu insiden,struktur dan transmisi bagian.Dimana medan magnet di setiap bagian secara jelas menunjukkan penerapan Teorema Green.Dengan fungsi eksplisit Green yang berhubungan dengan struktur , metode analitis menghasilkan solusi yang baik dan dapat disimulasikan dengan FDTD.

  Dengan Metode perluasan mode ini kami menemukan solusi yang dapat diterapkan secara langsung.Dengan pendekatan,kami dapat menemukan lebih banyak solusi eksplisit dalam batas tertentu.Kami juga mendiskusikan kemungkinan plasmonik efek dalam analisis ini, kami yakin metode ini akan sangat membantu kami dalam mendapatkan hal hal yang baru dan berkemungkinan memperluas penerapan aplikasi studi ini.

Daftar Pustaka

Jian-Shiung Hong, K.-R. C. (2019). ADVANCED ANALYTICAL METHOD BASED ON GREEN’S THEOREM FOR LIGHT TRANSMISSION THROUGHSUBWAVELENGTH STRUCTURES OF MULTIPLE CONFIGURATIONSIN METAL FILMS. Journal Department of Physics,National Cheng Kung University.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.