Metode Analitis Lanjutan Berbasis Teori Green Untuk Transmisi Cahaya Melalui Struktur Subwavelength Konfigurasi Ganda Dalam Film Logam

. . Latar Belakang   Interaksi Antara gelombang elektromagnetik dan struktur subwavelength merupakan bidang penelitian yang sedang aktif untuk 10 tahun […]

blank

.

.

Latar Belakang

  Interaksi Antara gelombang elektromagnetik dan struktur subwavelength merupakan bidang penelitian yang sedang aktif untuk 10 tahun terakhir dikarenakan fenomena mekanika gelombang yang luar biasa seperti,transisi luar biasa melalui array 2D dan anomali absorpsi dalam spektrum pantulan dan transmisi kisi kisi logam 1D dalam periode kecil.Selain itu struktur juga dapat dimanfaatkan untuk memandu atau melokalisasi gelombang elektromagnetik.Maka dari itu selain untuk kepentingan akademik studi ini juga bertujuan untuk menemukan potensi pengaplikasian dalam fisika optik.

Dalam studi ini salah satu hal yang penting adalah metode yang digunakan,kali ini ada beberapa metode yang digunakan seperti untuk menyelesaikan persamaan gelombang digunakan metode mode perluasan partikular pada batas tertentu dengan Forious series untuk celah tunggal celah berpola dengan alur dan celah ganda.Dalam metode ini Semua 

Mode yang diperluas secara internal digabungkan dalam K-Space ,sedangkan kopling bidang antara bukaan sering digambarkan sebagai proyeksi mode

  Dalam studi ini juga digunakan metode Neerhoff dan Mur untuk membuktikan bahwa Selain celah tunggal metode ini juga dapat menganalisis hal yang lebih kompleks serta menggunakan teorema green untuk membantu menganalisis permasalahan.

.

Pembahasan

Formulasi medan harmonik terhadap waktu

Untuk menganalisis perpindahan melalui struktur sub panjang gelombang di sistem dua dimensi, digambarkan sebuah gelombang bidang terpolarisasi p di daerah kejadian (incident region) yang merambat di bidang xz menuju daerah struktur (structure region) ke daerah transmisi (transmission region) (digambarkan di Gambar 1.). Daerah struktur sebenarnya bisa terbentuk dari satu atau lebih sub daerah, tergantung keinginan; koordinat asalnya kemudian akan ditentukan semestinya. Dalam esai ini, hanya akan dipertimbangkan kejadian yang tegak lurus. Lalu, tiap daerah diisi dengan ruang hampa demi kemudahan. Dengan metode analitik, akan ditemukan medan elektromagnetik di semua daerah. Namun, kejadian yang tidak ‘normal’ (tidak tegak lurus maupun sejajar) atau penggunaan dielektrik juga tetap bisa digunakan dalam metode analitik ini.

.

blank

Gambar 1. Skema daerah kejadian, struktur, dan transmisi. Sebuah gelombang terpolarisasi p merambat dari daerah kejadian ke daerah struktur

.

Diasumsikan medan magnet yang terpolarisasi itu harmonik terhadap waktu dan konstan di arah y (karena objek yang dihitung diukur di bidang xz).

.

H(x, y, z, t)= ˆjU(x,z)eiωt

.

dimana U(x,z) adalah fasor skalar akibat polarisasi di sistem dua dimensi. Biarkan impedansi ruang hampa η0 dinormalisasi dan nilainya merata di seluruh bidang. Setelah U(x,z) didapatkan, medan listrik E= ˆxEx+ˆyEy+ˆzEz dihasilkan dengan:

.

Ex= ik0..zU(x,z),.Ey=0,.Ez= ik0..xU(x,z)

.

Diasumsikan material yang digunakan dalah konduktor listrik sempurna, dengan itu, maka E yang tegak lurus permukaan akan hilang.

.

nU=0 n adalah vektor tegak lurus permukaan

.

Tiap sub daerah direpresentasikan sebagai Uj(x,z) dengan j=1, 2,  Di daerah kejadian, medan ini bisa diuraikan menjadi:

.

U1(x, z) = Ui(x, z) + Ur(x, z) + Ud(x, z)

.

Medan skalar Ui merepresentasikan gelombang insiden. Medan skalar Ur menunjukkan gelombang pantul seakan tidak ada bukaan antara daerah kejadian dengan struktur. Medan skalar Ud menjelaskan difraksi gelombang di daerah insiden akibat adanya bukaan.

.

Ui(x, z) = eik0z

Ur(x, z) = e(ik0z + iφ)

.

φ adalah beda fase dari medan insiden. Anggap antarmuka terjadi di z= zb. Kondisi batas nU=0 juga terjadi. Didapatkan:

.

(zUi(x,z)z=zb+(zUr(x,z)|z=zb=0 untuk<x<

.

Antara dua daerah tetangga, tangensial dari H dan E di bukaan struktur adalah berkelanjutan. Di antarmuka z= zb, antara daerah j dengan j+1, didapatkan:

.

(Uj(x,z)z=zbj+=(Uj+1(x,z)z=zbj

.

z(Uj(x,z)z=zbj+=(zUj+1(x,z)z=zbj

.

Aplikasi teorema Green

Diasumsikan medan yang terdifraksi di daerah kejadian dan transmisi hilang di tak terhingga. Bisa diekspresikan sebagai:

.

Uj (x, z)= bukaan(GjnUj  UjnGj )ds,

.

Gj adalah fungsi Green untuk daerah tersebut.

G(x, z;x, z)=i4..H0(1)(k0R)

Yang mana H0(1)(k0R) adalah fungsi Hankel jenis pertama, dan

.

R=(xx)2+(zz)2

.

Fungsi H0(1)(k0R) adalah kompleks dan magnitudonya terurai dengan (R)1/2 saat R.

Di dalam masalah interaksi dengan gelombang, sistem selalu dibatasi dan refleksi dari poin sumber seharusnya dipertimbangkan. Karena G mewakili medan magnet, maka mirip dengan persamaan nU=0 setiap batas harus membiarkan nG menghilang, yaitu:

.

nG=0 di permukaan konduktor

.

Dibuatlah tiga tipe batas-batas yang tergambar di Gambar 2. Untuk tipe pertama di Gambar 2(a), hanya ada satu batas di z= zb. Sumber imajiner yang bersesuaian kemudian diletakkan di poin (x, z), yang mana z=2zbz. Superposisi radiasi dari sumber real dan imajiner menghasilkan fungsi Green yang pertama:

.

G(1)(x, z;x, z;zb)=i4..[H0(1)(k0R)+H0(1)(k0R)]  

untuk <x, x< dan (zzb)(zzb)>0,dimana:

.

R=(xx)2+(z+z2zb)2

.

blank

Gambar 2. Tipe-tipe batas yang memungkinkan. (a) batas horizontal di z=zb, (b) batas vertikal di xss dan xs+s, (c) kombinasi batas horizontal dan vertikal

.

Di gambar 2(b), tiap penambahan poin sumber di salah satu sisi tentunya akan mengganggu keseimbangan dan tidak akan memenuhi nG=0. Maka dari itu, perlu ditambah poin di sisi yang berseberangan lagi untuk seakan-akan untuk menyeimbangkan. Penambahan poin ini menciptakan ketidakseimbangan lagi dan proses ini dilakukan tak terhingga kali untuk menciptakan kondisi batas final. Didapatkan fungsi Green tipe kedua:

.

G(2)(x, z;x, z;zb)=i4..m=H0(1)(k0Rm)

untuk xss<x, x<xs+s, dimana:

Rm=(xxm)2+(zz)2, dan

.

xm=(1(1)m)xs+2ms+(1)mx

.

Dalam paper yang dipilih ini, penulis mengusulkan ruang terbatas seperti di Gambar 2(c). Batas horizontalnya di z=zb dan 2 batas vertikal yang terpisah sejauh 2s. Di samping sumber imajiner yang tak terhingga di level yang sama dengan sumber real, terdapat juga sumber imajiner yang tak terhingga di arah yang berseberangan, bersesuaian dengan batas horizontal. Hasilnya, didapatkan fungsi Green tipe ketiga:

.

G(3)(x, z;x, z;xs,s,zb)=i4..m=[H0(1)(k0Rm)+H0(1)(k0Rm)]..G(3)(x, z;x, z;xs,s,zb)=G(2)(x, z;x, z;xs,s)+ G(2)(x, z;x,2zb z;xs,s),

.

dimana:

.

Rm=(xxm)2+(z+z2zb)2

.

Dengan fungsi Green tipe ini, mode gelombang pandu didalam alur dapat dijelaskan. Berbeda dengan tipe 2, mode ini asimetris akibat adanya batas horizontal.

.

Celah Tunggal

  Sebuah celah dengan lebar 2a dan ketebalan b seperti ditunjukkan pada gambar dibawah.Sistem dibagi menjadi 3 Daerah dimana koordinat asalnya berada di pusat celah

https://lh3.googleusercontent.com/I11EOPqpgdb3L0vKE-w0H7yhvH2z1Xtwcm4oLbtcfL7kWB-03PTTyOHrJNmQxcB9_-tNhe2_ZoDsWLNSFpPiuuaHHf-GGokIVUb5HPTUUiiQmIwHR1TPf2QeQtHm4G3h7F2N7RQw

Dengan z=b merupakan titik masuk dan z=0 adalah titik keluar yang diasumsikan akan terjadi korsleting .batas virtual yang menghasilkan fungsi green pada antarmuka yang harus memenuhi persamaan berikut.

     δz,G1(x,z; x,z)z0=0         

δz,G2(x,z; x,z)z0=0  

Oleh karena itu,persamaan diatas adalah tipe pertama dan dapat ditulis sebagai berikut.

G1 (x, z; x, z) = G (1) (x, z; x, z; b),

G3 (x, z; x, z) = G (1) (x, z; x, z; 0).

              Pada Daerah Kedua ,kami mengasumsikan batas virtual di bukaan masuk dan keluar,G2 pada daerah ini menjadi tak terbatas pada arah z dan diperoleh fungsi green dari tipe kedua adalah:

https://lh6.googleusercontent.com/sXD860bTW-hW80k_U09SEiBZFNb2u9gmBL1CUPItQfOlvvxSxTqqOY-C3O4OkZHE5N9ZV5DJqtg4m1aiekZUMdqBzka-H9t9O4_OBWaFomMDO679rSqa8r5AUI45qVuAgT9y6CGi

Dengan fungsi green explisit dan batas yang telah ditentukan persamaan integralnya adalah sebagai berikut

https://lh5.googleusercontent.com/u5m1_csQqc8f8SXL-E-B2J2xB6qBVRfvkrxzXwiku5Y8JZ_RqiNwzEFWZAWekyDHGsi1qyQxWkRJi9xUkbEr5GusoZ9b_ObcYjKpiS7Pfx5iXa9m65frJiYf1ITdqJzDEsYwtApA

https://lh4.googleusercontent.com/993r4YlGDAnyq3mUTH-f62yHkfAZsghFOv3uELJbBSgN8-yebabuFqhkpfYOs7Jo67gc1sS3-GpQ35vFcZk8Q8aLLYOfGBoRGpgZXON9CKTRiIHM9vPHHrObFp_b0xcsJjjew_5k

Dimana kita mendefinisikan batas medan dan derivative normalnya pada bukaan masuk z=b dan bukaan keluar z=0 sebagai

https://lh5.googleusercontent.com/smsj_JyovZyJsV4G8zn0doIy4S-tE3joDEQoKZqg4gH4u03pJFsmQr5J9RmB5MbEiNhQvYFuhZyI7Kp0Q89lhNbRiGya6OOjYme7WyEjrMQ7UQD0uGkbp_eR7ZShn9wdOmi7LrI0

Kemudian ,Kita menggunakan batas kondisi tersebut untuk menghasilkan persamaan integral

https://lh4.googleusercontent.com/BM91JgbdOnKKPqysJFycKOxU9959ZW0tD9f3yAhBPhilXAPx_M7Efy-_DMq2EyRWe6oliErdncxtZftWOZsIxOlkmeyQ31QBTZ-9ZypSPiPw0UdWsERVgsqXwwJtZxPhzt08uIEL

Dimana  https://lh4.googleusercontent.com/UtG2wuHpSlDdzJNSDc4hMPDpy--Ccrs50GMDsqvsqnL_9vdPIEpjSEE-05gldFqcqH-VG2jKxQ2kMg5kQ9t5U-s-H_0-tcBvz9Qz4zBDHT79616556Him2urDvp31MJqfUWlBMf4

Untuk memverifikasi metode analitis ini, kami mengasumsikan 0=560 nmdan 2a = 40 nm;Jumlah subinterval yang digunakan adalah N=8.Dengan solusi yang dihasilkan , transmisi dari cahaya insiden melalui celah adalah 

https://lh6.googleusercontent.com/zyNPKpBZz-tBMgzorhGYB5bAx8X1OdHy-9F6pGDyoScYek-xiWyep_uK4gLANZKX7AeE7snk9i_Uxydb1ds1ZGW01KnAUPCss-nKECe40TtOIewVwo1xvee2f87NW-niH3tEKkTd

.

4. Slit patterned with grooves (Celah berpola dengan alur)

  Bagian ini menunjukkan metode analisis untuk celah subwavelength yang berpola dengan alur, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 5. Ada L pasang alur dengan lebar 2g dan tinggi h berpola pada kedua sisi celah keluar sedangkan jarak separasinya adalah p.

.

blank

Gambar 4: Transmisi Ts sebagai fungsi dari ketebalan film b untuk λ0 = 560 nm dan 2a = 40 nm.

.

blank

Gambar 5: Skema celah subwavelength lebar 2a dan tebal b yang berpola dengan pasangan L alur lebar 2g dan tinggi h; jarak pemisahan adalah p.

.

   Sama seperti kasus celah tunggal, ada tiga wilayah untuk analisis. Fungsi Green G1 dan G3 berbagi hal yang sama formulasi sebagai Persamaan (27). Untuk area celah di wilayah II, G2 tetap menjadi fungsi Green untuk tipe kedua; Untuk daerah alur, bagaimanapun, G2 termasuk dalam tipe ketiga karena batasnya pada z = h. Karena fungsi Green adalah independen untuk celah dan setiap alur, kita dapat menggunakan fungsi persegi panjang untuk mewakili karakteristik spasial G2:

                 G2(x,z;x,z) =rct(x2a..)rct(x2a..)G(2)(x,z;x,z;0,a)

+Ll=L, l0rct(xlp2g..)rct(xlp2g..)G(3)(x,z;x,z;lp,g,h)

Sama seperti kasus celah tunggal, representasi integral untuk Uj diberikan dalam Persamaan. (12) di setiap daerah menjadi :

Ud(x,z)=aaG1(x,z;x,b) DUb(x)x,

 U3(x,z)=LP+gLPgG1(x,z;x,0) DU0(x)x,

U2(x,z)=LP+gLPg[G1(x,z;x,0) DU0(x)U0(x)z,G2(x,z;x,z) z0+x

                                +aa[G1(x,z;x,b) DUb(x)Ub(x)z,G2(x,z;x,z) zb+]x

.

  Kondisi batas di Persamaan. (11a) kemudian menghasilkan satu set persamaan integral simultan:

2Uib(x)Ub(x)=aaG1(x,b;x,b) DUb(x)x,

Ub(x)=LP+gLPgG3(x,0;x,0) DU0(x)x,

U2(x)=LP+gLPg[G2(x,b;x,0) DU0(x)U0(x)z,G2(x,b;x,z) z0+x

+aa[G2(x,b;x,b) DUb(x)Ub(x)z,G2(x,b;x,z) zb]x

U0(x)=+aa[G2(x,0;x,b) DUb(x)Ub(x)z,G2(x,0;x,z) zb]x

LP+gLPg[G2(x,0;x,0) DUb(x)Ub(x)z,G2(x,0;x,z) z0+]x

  Mirip dengan solusi konfigurasi celah tunggal, kami dapat menemukan yang tidak diketahui dan bidang EM di setiap wilayah. Misalkan λ0 = 560 nm, 2a = 2g = 40 nm, b = 250 nm, h = 100 nm, p = 500 nm, dan L = 10; nomor dari subinterval untuk celah dan bukaan alur keduanya N = 8. Kami mendefinisikan distribusi sudut bidang di wilayah III sebagai

.

f(θ)=(πr)12.. |U3(r,θ)|

.

Dimana r = (x2+z2)1/2 and θ = tan1.(zx). Resultan f(θ) ditunjukkan pada gambar 6 dengan r = 20μm.

blank

Gambar 6: Distribusi sudut dari metode analitik (kurva biru) dan dari simulasi FDTD ketika ukuran sel adalah 5 nm (kurva merah), 2,5 nm (kurva hijau), dan 1,25 nm (kurva cyan). Inset: tampilan distribusi sudut yang diperbesar dekat sudut θ = 2700

.

Double slit (Celah Ganda)

  Dalam konfigurasi ini, celah ganda dengan lebar 2a dan tebal b ditempatkan di kedua sisi koordinat asal dan jarak tepi ke tepi adalah 2d, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7.

Di wilayah I dan III, fungsi Green G1 dan G3 berbagi bentuk yang sama dengan Persamaan. (27). Di wilayah II, rumusan G2 mirip dengan konfigurasi celah tunggal tetapi bertanggung jawab atas bidang di dalam dua celah. Untuk merepresentasikan spasial karakteristik G2, fungsi persegi panjang digunakan :

G2(x,z;x,z) =rct(x+da2a..)rct(x+da2a..)G(2)(x,z;x,z;d+a,a)

+ rct(xd+a2a..)rct(xd+a2a..)G(2)(x,z;x,z;da,a)  

.

blank

Gambar 7: Skema celah ganda dengan lebar 2a dan tebal b; jarak ujung-ke-ujung adalah 2d.

.

Representasi integral untuk Ujdiberikan dalam Persamaan. (12) di setiap daerah menjadi:

.

Ud(x,z)=ddG1(x,z;x,b) DUb(x)x,

 U3(x,z)=ddG3(x,z;x,0) DU0(x)x,

U2(x,z)=dd[G2(x,z;x,0) DU0(x)U0(x)z,G2(x,z;x,z) z0+x

+dd[G2(x,z;x,b) DUb(x)Ub(x)z,G2(x,z;x,z) zb]x

.

Kondisi batas yang diberikan dalam Persamaan. (11a) menghasilkan satu set persamaan integral simultan:

.

2Uib(x)Ub(x)=ddG1(x,b;x,b) DUb(x)x,

U0(x)=ddG3(x,0;x,0) DU0(x)x,

Ub(x)=dd[G2(x,b;x,0) DU0(x)U0(x)z,G2(x,b;x,z) z0+x

 +dd[G2(x,b;x,b) DUb(x)Ub(x)z,G2(x,b;x,z) zb]x

U0(x)=+dd[G2(x,0;x,b) DUb(x)Ub(x)z,G2(x,0;x,z) zb]x

dd[G2(x,0;x,0) DUb(x)Ub(x)z,G2(x,0;x,z) z0+]x

Yang tidak diketahui juga dapat ditemukan dengan solusi yang sama dengan konfigurasi celah tunggal, begitu pula bidang EM di masing-masing wilayah.

.

  Dalam konfigurasi tersebut, kita misalkan λ0 = 633 nm, 2a = 80 nm, b = 200 nm, 2d = 480 nm, dan N = 16 untuk setiap bukaan celah. Ditunjukkan snapshot dari bidang Re {U3 (x, z) exp (−iωt)} pada Gambar. 8 (a) pada fase temporal ωt = 0,95 × 2π; fase temporal dipilih ketika bidang pusat di permukaan keluar adalah sekitar nol. Untuk membandingkan, dilakukan FDTD simulasi dengan ukuran sel 5 nm, dan menunjukkan snapshot dari distribusi lapangan pada Gambar. 8 (b). Waktu simulasi adalah dipilih juga untuk bidang pusat menjadi sekitar nol. Kami mendapatkan bahwa profil dan besarnya bidang dari keduanya metode analitis dan simulasi sangat cocok.

.

blank

Gambar 8: (a) Distribusi bidang spasial dari resultan Re {U3 (x, z) exp (−iωt)} dari metode analitik dan (b) snapshot dari medan magnet dari simulasi FDTD.

blank

Gambar 9: Distribusi amplitudo sepanjang garis vertikal x = 0 dari metode analisis (kurva biru) dan dari Simulasi FDTD (kurva merah).

.

Celah Ganda Berkeluk

Konfigurasi terakhir adalah celah ganda berlekuk, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10; dalam konfigurasi, sejumlah file logam pusat antara dua celah dihilangkan. Dari aspek metode analitik, konfigurasinya bisa dianggap sebagai celah ganda yang dihubungkan secara serial ke celah tunggal dengan lebar yang sama dengan jarak pemisah. Wilayah struktur dibagi menjadi dua sub-wilayah untuk mewakili medan magnet dua komponen ini.

Insiden dan wilayah transmisi dalam konfigurasi direpresentasikan sebagai wilayah I dan IV, masing-masing sesuai dengan fungsi Green

Fungsi Green di wilayah II ) sama dengan konfigurasi celah ganda. Fungsi Green di wilayah iii diakibatkan oleh dua kondisi batas yang berbeda pada antarmuka z = 0 dan z = −h.

blank

Gambar 10: Skema celah ganda menjorok. Dalam konfigurasinya, region struktur dibagi menjadi dua sub-region terdiri dari celah ganda dan celah tunggal, masing-masing. Lebar, ketebalan, dan jarak pemisahan celah ganda adalah 2a, b, dan 2d, sedangkan h adalah ketebalan celah tunggal.

.

fungsi Green yang sesuai pada antarmuka harus memenuhi

Karena wilayah tersebut juga dibatasi secara vertikal pada | x | = d, adalah tipe ketiga. Oleh karena itu, kami memberikan fungsi Green untuk antarmuka

Pada z = −h, asumsi batas maya untuk bukaan celah ganda menghasilkan kondisi tak terbatas di z arah sehubungan dengan antarmuka. Oleh karena itu, fungsi Green yang sesuai adalah tipe kedua,

Dengan fungsi Green eksplisit dan syarat batas di Persamaan. (11b), representasi integral untuk diberikan pada Persamaan. (12) di setiap wilayah dapat dinyatakan sebagai

di mana, selain bidang batas dan turunan normalnya, kami mendefinisikannya pada antarmuka z = −h sebagai

Kemudian, kami menggunakan kondisi batas di Persamaan. (11a) untuk z = b, z = 0, dan z = −h menghasilkan himpunan persamaan integral simultan:

Kami mendapatkan bahwa ada enam persamaan untuk bilangan yang sama dari yang tidak diketahui . Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat diselesaika denagn metode yang mirip denagn celah tunggal, dan dapat disubtitusikan pada persamaan yang telah didapat diatas. Kami memperhatikan bahwa, dengan struktur berlekuk, bidang yang ditransmisikan lebih fokus daripada di konfigurasi celah ganda,Metode analisis menunjukkan akurasi untuk konfigurasi hybrid. Menariknya, terlihat bahwa amplitudo medan pada z = 0 meningkat sebesar 40,5%, dibandingkan dengan konfigurasi celah ganda. Oleh karena itu, konfigurasi ini memang mampu meningkatkan transmisi secara signifikan agar memiliki nilai akademik dan potensi aplikasi yang potensial.

Penjelasan sebeelumnya telah menunjukkan bahwa formulasi lapangan yang ketat di setiap wilayah berdasarkan teorema Green, mampu memberikan solusi yang akurat untuk masalah interaksi cahaya dengan berbagai konfigurasi struktur subwavelength. Pada bagian ini, akan membahas penerapan metode ini untuk interpretasi dan studi fisik lebih lanjut.

Dalam konfigurasi celah tunggal, karena lebarnya jauh lebih kecil daripada panjang gelombang, dapat diasumsikan bahwa bidang batas Ub (x) dan U0(x), dan turunan normalnya DUb(x) dan DU0(x), adalah konstan [24, 40]. Pendefinisian integral dari fungsi Green di Persamaan. (31a) dan (31b) sebagai

I=i2..aaH(1)0(k0|x|)dx

Selain itu, m ≥ 1 suku orde tinggi G2 dapat diabaikan. Dari Eq. (31), kemudian didapatkan persamaan simultan yang disederhanakan:

2U1bUb=DUbI

blank

Gambar 11: (a) Distribusi bidang spasial dari exp Re{U3(x, z) yang dihasilkan (iωt)} dan Re{U4(x, z) exp(iωt)} dan (b) snapshot medan magnet simulasi dari simulasi FD

2.5

.

Analytical FDTD

.

2.0

.

amplitude

1.5

.

1.0

.

0.5

.

.

                                                                            −2.5        −2        −1.5         −1.0     −0.50

z (m)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Gambar 12: Distribusi amplitudo di sepanjang garis vertikal x = 0 dari metode analitik (kurva biru) dan dari simulasi FDTD (kurva merah).

U0=DU0I,

Ub=i2k0..eik0bDU0+12..eik0bU0+i2k0..DUb+12..Ub,

U0=12k0..DU0+12..eik0bUb+i2k0..eik0bDUb+12..U0

Penyederhanaan formulasi mengarah ke solusi analitik eksplisit untuk yang tidak diketahui:

U0=4ik0IUibeik0b.(k0I+i)2(k0Ii)2ei2k0b.. ...,

DU0=4ik0Uibeik0b(k0I+i)2(k0Ii)2ei2k0b..,

Ub=2Uib[(1ei2k0b)ik0I(1+ei2k0b)](k0I+i)2(k0Ii)2ei2k0b..

DUb=2k0Uib[(1ei2k0b)k0I+i(1+ei2k0b)](k0I+i)2(k0Ii)2ei2k0b..

Berdasarkan Eq. (29c), penyederhanaan mengurangi bidang di dalam celah untuk

Us(z)U2(x,z)=i2k0..[DU0eikoz+U0Zeiko(zZ)Z0+DUbeiko(bz)Ubzeiko(zz)Zb],

Dalam subtitusi solusi, diperoleh

Us(z)=Uibeik0bt0eikozr0eikoz1r20ei2kob..

Dimana t0= (2i)/(k0 I + i) dan r_0= (k0 I  i)/(k0 I + i). Ditemukan bahwa representasi lapangan di dalam celah sebenarnya menggambarkan resonansi seperti Fabry-Pérot yang hasil dari putaran gelombang propagating [15–17]. Metode analitik menghasilkan koefisien transmisi t0 untuk gelombang bidang insiden melalui z = b pembukaan dan koefisien pantulan r_0 di kedua bukaan z = b dan z = 0. Mengingat bidang listrik Exs (z) =(i/k0)zUs (z), transmisi yang dihasilkan Ts = Re{Exs (z)U*z (z)} sebagai fungsi ketebalan film b konsisten dengan yang ditunjukkan pada Gambar 4.

Untuk konfigurasi celah berpola dengan alur, dapat diaasumskan bahwa bidang batas dan turunan normal di setiap pembukaan alur konstan. Dalam hal ini, Ul0= U0 (x)dan DUl0 = DU0 (x) ketika |