Analisis Konduksi Panas Keadaan Tetap Dua Dimensi pada Anisotropik Padatan dengan Metode Elemen Batas Menggunakan Persamaan Metode Analog dan Teorema Green

1.Latar Belakang

Dalam analisis konduksi panas steady-state untuk padatan anisotropik sifat sifat materialnya berbeda dalam ruang koordinat, solusi fundamental untuk padatan anisotropik diperoleh dengan metode elemen batas (BEM), yang berbeda dari solusi fundamental konvensional untuk padatan isotropik, perlu diturunkan dan digunakan. Chang et al memperoleh solusi fundamental dan menganalisis masalah ini. Para penulis juga telah memperoleh solusi fundamental, yang berbeda dari Chang et al. dalam ekspresinya tetapi secara substansial setara dengan itu. Ishiguro, Nakajima, dam Tanaka mengusulkan skema untuk mendapatkan solusi yang sangat akurat dalam pekerjaan yang sama. BEM berulang, menggunakan solusi fundamental untuk padatan anisotropik telah diusulkan untuk masalah ketika kondisi batas berubah secara tiba-tiba dan daerah memiliki sudut yang tajam.

Baru-baru ini, metode persamaan analog (AEM) telah diterapkan pada BEM, dan analisis telah dilakukan dengan menggunakan solusi fundamental konvensional. Para penulis telah merumuskan masalah konduksi panas transien nonlinier dalam padatan anisotropik menggunakan solusi mendasar untuk masalah konduksi panas kondisi-mapan dalam padatan isotropik, AEM, dan teorema Green, dan telah menganalisisnya.

Dalam makalah ini, Ishiguro dan kawan-kawannya menerapkan teorema AEM dan Teorema Green untuk masalah konduksi panas kondisi-tunak dan mengusulkan BEM menggunakan solusi fundamental persamaan Laplace untuk padatan isotropik. Prosedur yang diusulkan diterapkan pada dua contoh sederhana dalam kondisi tertentu, dan kegunaan BEM yang diusulkan ditunjukkan dalam pembahasan dari hasil yang diperoleh.

2.Formulasi

%1.1Pengaturan Persamaan Differensial

Persamaan differensial dari suatu steady state heat conduction dari anisotropic solid dalam 2 dimensi dijabarkan sebagai :

$λ_{x x} \frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x} + {2 λ}_{x y} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + λ_{y y} \frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y} = 0$

dimana u merupakan temperature dalam benda, dan konduktivitas thermal dalam bidang kartesius adalah $λ_{x x}$ , $λ_{x y}$ , dan $λ_{y y}$ .

%1.2 Pengaplikasian Teorema Green dan Analog Equation Method

Dengan mengambil bentuk Laplacian dari solid isotropic pada persamaan 1 dan menggunakan Analog equation method dan mentransposkannya ke bagian kiri, didapatkan persamaan :

$\frac{\partial^{2} u}{{\partial x}^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{{\partial y}^{2}} = \frac{λ - λ_{x x}}{λ} \frac{\partial^{2} u}{{\partial x}^{2}} - 2 \frac{λ_{x y}}{λ} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + \frac{λ - λ_{y y}}{λ} \frac{\partial^{2} u}{{\partial y}^{2}}$

Dalam persamaan ini, λ adalah konduktivitas thermal dari solid yang bersifat isotropic, bagian kanan dari persamaan ini dapat diwakilkan sebagai R dan nilainya dapat didekati dengan fungsi polynomial pada koordinat x dan y serta dengan koefisien yang belum diketahui yaitu $a_{i}$ , bentuk ini diajukan oleh Kamiya dan Xu

$R \approx a_{1} + a_{2} x + a_{3} y + a_{4} x^{2} + a_{5} x y + a_{6} y^{2} + a_{7} x^{3} + a_{8} x^{2} y + a_{9} {x y}^{2} + a_{10} y^{3} + \dots$

$= m \sum i = 1 a_{i} f_{i} (x, y)$

Persamaan tersebut diwakilkan sebagai polynomial karena bentuk polynomial dapat dengan mudah diubah pada boundary integral, sehingga persamaan akan menjadi:

$\frac{\partial^{2} u}{{\partial x}^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{{\partial y}^{2}} = m \sum i = 1 a_{i} f_{i} (x, y)$

Dengan mengintegralkan persamaan diatas terhadap seluruh domain dan dikalikan dengan solusi fundamental u* dari steady-state heat conduction untuk solid isotropic akan didapatkan persamaan integral terbatas :

$α u (y) + \int_{Γ} q^{*} u d Γ - \int_{Γ} u^{*} ¯ ¯ ¯ q d Γ = - \int_{Ω} (m \sum i = 1 a_{i} f_{i}) u^{*} d Ω$

Dalam persamaan ini α merupakan koefisien bentuk yang bergantung pada geometri, y adalah titik sumber dari batas, $¯ ¯ ¯ q$ adalah heat flux dalam solid isotropic, dan q* adalah solusi fundamental dari heat flux dalam solid isotropic, dimana U* dan q* adalah:

$u^{*} = - \frac{1}{2 π} log . r$

$q^{*} = - \frac{1}{2 π r^{2}} (n_{x} x_{1} + n_{y} y_{1})$

r dalam persamaan ini adalah jarak antara titik observasi pada sumbu x dan titik sumber y, x1 dan y1 adalah komponen dari r dalam arah x dan y, dan n1, n2 adalah komponen dari unit normal vector pada batasan $Γ$ . Dengan mengaplikasikan Teorema Green pada persamaan diatas akan didapatkan :

$\int_{Ω} m \sum i = 1 a_{i} f_{i} u^{*} d Ω = m \sum i = 1 a_{i} k_{i}$

$k_{i}$ pada bagian kanan persamaan merupakan integral batas di mana integral integral domain dari ruas kiri diubah dengan menerapkan integrasi oleh bagian-bagian, dimana nilai $k_{i}$ diantara lain :

$k_{1} = \int_{Γ} q^{* 1} d Γ$

$k_{2} = \int_{Γ} (x q^{* 1} - u^{* 1} n_{x}) d Γ$

$k_{3} = \int_{Γ} (y q^{* 1} - u^{* 1} n_{y}) d Γ$

$k_{4} = \int_{Γ} (x^{2} q^{* 1} - {2 x u}^{* 1} n_{x} + {2 q}^{* 2}) d Γ$

$k_{5} = \int_{Γ} x y q^{* 1} - (y n_{x} + x n_{y}) u^{* 1} d Γ$

$k_{6} = \int_{Γ} (y^{2} q^{* 1} - {2 y u}^{* 1} n_{y} + {2 q}^{* 2}) d Γ$

$k_{15} = \int_{Γ} (y^{4} q^{* 1} - {4 y^{3} u}^{* 1} n_{y} + {12 y^{2} q}^{* 2} - 24 y n_{y} u^{* 2} + 24 q^{* 3}) d Γ$

$q^{* 1} {, q}^{* 2}, q^{* 3}, u^{* 1}, u^{* 2}$ dalam persamaan diatas adalah solusi fundamental orde tinggi dari solusi fundamental $q^{*} d a n u^{*}$ dan nilai mereka adalah :

$q^{* 1} = - \frac{1}{4 π} (l o g r - \frac{1}{2}) (x_{1} n_{x} + y_{1} n_{y})$

$q^{* 2} = - \frac{r^{2}}{32 π} (l o g r - \frac{5}{4}) (x_{1} n_{x} + y_{1} n_{y})$

$q^{* 3} = - \frac{r^{4}}{768 π} (l o g r - \frac{5}{3}) (x_{1} n_{x} + y_{1} n_{y})$

$u^{* 1} = - \frac{r^{2}}{8 π} (l o g r - 1)$

$u^{* 2} = - \frac{r^{4}}{128 π} (l o g r - \frac{3}{2})$

%1.3Pengenalan Heat Flux pada solid anisotropic

Pada persamaan sebelumnya digunakan heat flux dari solid isotropic ( $¯ ¯ ¯ q$ ) namun secara praktiknya heat flux untuk solid anisotropic diketahui atau diperoleh dari hasil perhitungan, dalam kasus ini heat flux untuk solid anisotropic adalah :

$q = λ_{x x} \frac{\partial u}{\partial x} n_{x} + λ_{x y} (\frac{\partial u}{\partial x} n_{y} + \frac{\partial u}{\partial y} n_{x}) + λ_{y y} \frac{\partial u}{\partial y} n_{y}$

nilai q ini disubstitusikan untuk heat flux dari solid isotropic dan domain integral dijabarkan dalam Batasan integral yang kemduian diubah dengan teorema green sehingga persamaan menjadi

$α u (y) + \int_{Γ} q^{*} u d Γ - \int_{Γ} u^{*} ¯ ¯ ¯ q d Γ = - m \sum i = 1 a_{i} k_{i}$

$- \frac{1}{λ} \int_{Γ} {(λ_{x x} - λ) \frac{\partial u}{\partial x} n_{x} + λ_{x y} \frac{\partial u}{\partial x} n_{y} + λ_{x y} \frac{\partial u}{\partial y} n_{x} + (λ_{y y} - λ) \frac{\partial u}{\partial y} n_{y}} u^{*} d Γ$

persamaan diatas dalam bentuk matriks memiliki bentuk

Hu = Gq – Ka – Gq’

dimana u dan q merupakan Batasan atau boundary node, H dan G adalah koefisien matriks yang merupakan hasil dari integral batas dari solusi fundamental q* dan u*, a adalah vector yang terdiri dari koefisien yang tidak diketahui dalam R ( $a_{i}$ ) dan K adalah koefisien matriks dari integral batas dimana domain dari integral tersebut sudah diubah. q’ merupakan vector dari heat flux untuk solid anisotropic dikurang dengan produk heat flux untuk solid isotropic dan konduktivitas thermal $λ$

%1.4Penurunan Koefisien yang Tidak Diketahui

Kita perlu menentukan vektor tak diketahui a yang diberikan dalam Persamaan untuk mendapatkan u dan q pada batasnya.

Menerapkan sisi kanan Persamaan, R didefinisikan dalam Persamaan dapat ditulis sebagai :

$R_{l} = R (\frac{\partial^{2} u_{l}}{{\partial x}^{2}}, \frac{\partial^{2} u_{l}}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} u_{l}}{{\partial y}^{2}})$

di mana subskrip $l$ menunjukkan node. Di sini, persamaan berikut didefinisikan sebagai suhu yang tidak diketahui $u_{l}$ , yang dapat didekati dengan polinomial dalam hal koordinat $x_{l}$ dan $y_{l}$ yang mirip dengan $R$ .

$u_{l} \approx m \sum i = 1 b_{1} f_{1} (x_{l}, y_{l}) = F b$

Jadi, dengan menggunakan vektor S dan vektor b yang terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, setelah turunan kedua $u_{l}$ diselesaikan dan diterapkan, $R$ menjadi :

R = Sb

Koefisien vektor S hingga derajat keempat diberikan sebagai berikut :

$S_{1} = S_{2} = S_{3} = 0$

$S_{4} = 2 (λ - λ_{x x})$

$S_{5} = - 2 λ_{x x}$

$S_{6} = 2 (λ - λ_{y y})$

$S_{7} = 6 (λ - λ_{x x}) x_{l}$

$S_{8} = 2 (λ - λ_{x x}) y_{i} - 4 λ_{x y} x_{l}$

$S_{9} = 2 (λ - λ_{y y}) x_{i} - 4 λ_{x y} y_{l}$

$S_{10} = 6 (λ - λ_{y y}) y_{l}$

$S_{11} = 12 (λ - λ_{x x}) x_{l}^{2}$

$S_{12} = - 6 λ_{x y} x_{l}^{2} + 6 (λ - λ_{x x}) x_{l} y_{i}$

$S_{13} = 2 (λ - λ_{y y}) x_{l}^{2} - 8 λ_{x y} x_{l} y_{l} + 2 (λ - λ_{x x}) y_{l}^{2}$

$S_{14} = - 6 λ_{x y} y_{l}^{2} + 6 (λ - λ_{y y}) x_{l} y_{i}$

$S_{15} = 12 (λ - λ_{y y}) y_{l}^{2}$

Dengan menerapkan polinomial dalam hal koordinat $x_{l}$ dan $y_{l}$ yang ditunjukkan pada Persamaan sebelumnya, $R$ dapat diekspresikan menggunakan matriks F dan vektor yang tidak diketahui a sebagai berikut :

R = Fa

Jadi, dengan menerapkan persamaan tersebut, persamaan berikut yang melibatkan vektor yang tidak diketahui a dan b dapat diperoleh :

Fa = Sb

Di sisi lain, karena q’ diperoleh dari turunan pertama, maka dapat ditulis sebagai :

q’ = Pb

Di sini, beberapa koefisien vektor P adalah sebagai berikut :

$P_{1} = 0$

$P_{2} = (λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{y_{l}}$

$P_{3} = λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}$

$P_{4} = 2 {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{x_{l}}} x_{l}$

$P_{5} = {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} x_{l} + {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{y_{l}}} y_{l}$

$P_{6} = 2 {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} y_{l}$

$P_{7} = 3 {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{y_{l}}} x_{l}^{2}$

$P_{8} = {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} x_{l}^{2} + 2 {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{x_{l}}} x_{l} y_{l}$

$P_{9} = 2 {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} x_{l} y_{l} + {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{x_{l}}} y_{l}^{2}$

$P_{10} = 3 {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} y_{l}^{2}$

$P_{11} = 4 {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{x_{l}}} x_{l}^{3}$

$P_{12} = {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} x_{l}^{3} + 3 {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{x_{l}}} x_{l}^{2} y_{l}^{2}$

$P_{13} = 2 {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} x_{l}^{2} y_{l} + 2 {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{x_{l}}} x_{l} y_{l}^{2}$

$P_{14} = 3 {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} x_{l} y_{l}^{2} + {(λ_{x x} - λ) n_{x_{l}} + λ_{x y} n_{x_{l}}} y_{l}^{3}$

$P_{15} = 4 {λ_{x y} n_{x_{l}} + (λ_{y y} - λ) n_{y_{l}}} y_{l}^{3}$

Oleh karena itu, dengan menerapkan Persamaan sebelumnya, vektor yang tidak diketahui a dapat diekspresikan sebagai :

a = F^-1SF^-1u

Di sini, superskrip -1 pada persamaan di atas menunjukkan matriks invers umum. q’ dapat ditulis sebagai :

q’ = PF^-1u

Akhirnya, a dan q ‘dieliminasi. Persamaan integral batas dalam bentuk matriks menjadi :

(H + KF^-1SF^-1 + GPF^-1)u = Gq

%1.5Catatan Perhitungan Numerik

Matriks invers umum pada persamaan diatas dieksekusi menggunakan metode yang diberikan pada referensi. Diperlukan setidaknya persamaan m untuk melakukan kalkulasi matriks invers umum karena terdapat koefisien m dalam vektor yang tidak diketahui.

Jika node berada dalam domain maka koefisien persamaan integral batas menjadi 1. Dengan pemikiran ini, persamaan akhir dapat dibentuk meskipun node berada dalam domain. Artinya, tidak hanya dapat menganalisis masalah melalui diskritisasi batas, tetapi juga menganalisis masalah dengan menetapkan titik penjajaran internal. Untuk mendapatkan setidaknya persamaan m, kita perlu menempatkan titik kalkulasi pada batas atau dalam domain, yang jumlah totalnya sama dengan jumlah persamaan. Lokasi dan jumlah titik komputasi yang diselidiki.

Dua skema digunakan untuk mendapatkan hasil internal, diikuti dengan skema titik kolokasi internal, yang digunakan untuk mendapatkan hasil internal dengan menerapkan persamaan akhir, Dan skema poin internal, seperti yang dijelaskan di bawah ini. Pada skema titik interior, kita dapat menentukan vektor a yang tidak diketahui dengan mensubstitusi u yang diperoleh dari persamaan akhir ke dalam persamaan matriks sebelumnya. Oleh karena itu, hasil internal dapat diperoleh dengan BEM reguler menggunakan rumus yang ke-(30).

3.Hasil Numerik

Contoh-contoh perhitungan oleh BEM yang diusulkan untuk menyelidiki kegunaannya. Bilangan tak berdimensi digunakan dalam perhitungan berikut.

3.1 Contoh 1

Pada gambar 1 ditunjukkan model analisis pelat persegi dengan node dan titik kolokasi internal. Kondisi batasnya adalah

dan konduktivitas termalnya adalah

Proses perhitungan dilakukan di bawah kondisi berikut, untuk penyelidikan pengaruh derajat polinom yang dipakai untuk aproksimasi, jumlah node, jumlah titik kolokasi internal dan konduktivitas termal dalam padatan isotropik:

Jumlah node:

Jumlah titik kolokasi internal:

Konduktivitas termal dalam padatan isotropik:

Kondisi keberadaan matriks invers universal tidak terpenuhi. Tabel 1 menunjukkan kombinasi jumlah node dan jumlah titik penjajaran internal. Untuk kombinasi ini, dapat diperoleh hasil. Gambar 2-4 menunjukkan derajat yang berbeda dari kesalahan polinomial dan gabungan pada tabel 1 ketika konduktivitas termal dari suatu padatan isotropik berubah. Solusi yang tepat untuk masalah ini adalah

Kesalahan (error) adalah kesalahan mutlak antara solusi yang diusulkan dan solusi eksak dari 225 titik internal. Posisi titik dalam sama dengan posisi titik kolokasi bagian dalam yang ditunjukkan pada Gambar 1. Gambar ini menunjukkan bahwa jika konduktivitas termal a dalam padatan isotropik adalah nilai rata-rata kalor, masalah tersebut dapat dianalisis dengan akurasi tinggi. Konduktivitas 𝝀xx dan 𝝀yy dalam padatan anisotropik. Dalam hal ini, kita dapat memperoleh akurasi yang lebih tinggi untuk Kasus 1 atau Kasus 2, yaitu titik kolokasi internal secara teratur ditempatkan pada node batas. Jika derajat polinomialnya lebih tinggi, akurasinya akan meningkat. Dalam analisis ini, jika m = 36, didapatkan hasil yang sangat akurat.

Gambar 1. Model Analisis 1

	Kasus 1	Kasus 2	Kasus 3	Kasus 4
Nomor nodes (n)	32	32	64	64
Nomor titik kolokasi	49	225	49	225

Tabel 1. Kasus yang dianalisis

4.Kesimpulan

Berdasarkan pemaparan di atas, dapat disimpulkan bahwa dimungkinkan untuk dilakukannya analisis masalah dalam padatan anisotropik menggunakan larutan fundamental konvensional untuk padatan isotropik. Permasalahan sampel dapat dipecahkan menggunakan program komputasi berdasarkan rumus dan formula yang sudah disebutkan di atas. Adapun faktor-faktor yang membuat solusi tersebut akurat adalah sebagai berikut.

4.1 Derajat polinom yang digunakan untuk aproksimasi harus lebih tinggi

4.2 Nodes dan internal collocation point harus ditempatkan. Internal collocation point ini harus ditempatkan secara teratur di nodes.

4.3 Konduktivitas termal yang ada di dalam padatan isotropik yang digunakan haruslah nilai rata-rata dari konduktivitas termal di xx dan yy.

Dalam studi kali ini, perhitungan didapatkan setelah memperlakukan daerah homogen dan menyelidiki berbagai karakteristik yang ada. Permasalahan yang dibahas pada studi ini masih berkutat pada permasalahan dua dimensi. Dengan adanya penelitian dan penyempurnaan lebih lanjut, maka metode yang digunakan pada studi kali ini dapat diperluas menjadi permasalahan tiga dimensi dan menyelesaikan permasalahan elastis pada padatan anisotropik.

Sumber :

Shuji Ishiguro, Hiromichi Nakajima, dan Masataka Tanaka. 2009. Analysis of two-dimensional steady-state heat conduction in Anisotropic Solids by Boundary Element Method using Analog Equation Method and Green’s Theorem. Journal of Computational Science and Technology, Vol.3 (1), 66 – 76
Chang, Y. P., Kang, C. S. dan Chen, D. J. The Use of Fundamental Green’s Functions for the Solution of Problems of Heat Conduction in Anisotropic Media, Int. J. Heat Mass Transfer, Vol. 16, No. 10 (1973), pp. 1905–1918

Analisis Konduksi Panas Keadaan Tetap Dua Dimensi pada Anisotropik Padatan dengan Metode Elemen Batas Menggunakan Persamaan Metode Analog dan Teorema Green

About The Author

Warstek Media

Leave a Comment Cancel Reply

Analisis Konduksi Panas Keadaan Tetap Dua Dimensi pada Anisotropik Padatan dengan Metode Elemen Batas Menggunakan Persamaan Metode Analog dan Teorema Green

Bagikan artikel ini:

About The Author

Warstek Media

Related Posts

Leave a Comment Cancel Reply