Matriks [Lengkap + Contoh Soal]

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segi empat yang diatur dalam baris dan kolom. Ukuran matriks dapat dinyatakan dalam sebuah ordo i x j.

blank

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segi empat yang diatur dalam baris dan kolom. Ukuran matriks dapat dinyatakan dalam sebuah ordo i x j.

Sejarah Matriks

Tahukah kamu siapa yang pertama kali mencetuskan konsep Matriks? Konsep matriks dicetuskan oleh Arthur Cayley (1821-1895) dan temannya bersama matematikawan James Joseph Sylvester pada tahun 1859 di Inggris dalam sebuah studi sistem persamaan linear dan transformasi linear[1]. Selain matriks, Cayley juga memberikan banyak sumbangsih dalam bidang matematika diantaranya kontribusi dalam teori aljabar mengenai kurva dan permukaan, teori grup, aljabar linear, kombinatori dan persamaan eliptis.[2]

Definisi Matriks

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segi empat yang diatur dalam baris dan kolom. Ukuran matriks dapat dinyatakan dalam sebuah ordo i x j (dibaca: baris kali kolom). Notasi matriks biasanya dinyatakan dalam $latex A_{i \times j}$
$latex A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} \end{bmatrix}$

Jenis-Jenis Matriks

  1. Matriks Persegi
    Matriks persegi  adalah matriks dengan jumlah baris dan kolom sama, yakni berordo n x n. [3]
    Contoh:
    Matriks persegi berordo 2×2
    $latex A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\4 & 5 \end{bmatrix}$
    Matriks persegi berordo 3×3
    $latex B=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\5 & 6 & 7 \\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$
    Matriks persegi berordo 4×4
    $latex C=\begin{bmatrix}3 & 6 & 9 & 1 \\2 & 4 & 7 & 1 \\5 & 3 & 3 & 2 \\6 & 8 & 9 & 4\end{bmatrix}$
  2. Matriks Baris
    Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris dan beberapa kolom.
    Contoh: Matriks berordo 1×3
    $latex D=\begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$
  3. Matriks Kolom
    Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom dan beberapa baris.
    Conroh: Matriks berordo 3×1
    $latex E=\begin{bmatrix}6 \\6 \\3 \end{bmatrix}$
  4. Matriks Identitas
    Matriks identitas adalah matriks yang diagonal utamanya memiliki elemen 1 dan elemen lainnya nol. Biasanya matriks identitas dinotasikan dengan I.
    Contoh:
    Matriks identitas berordo 2×2
    $latex I=\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$
    Matriks identitas berordo 3×3
    $latex I=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
  5. Matriks Diagonal
    Matriks diagonal adalah matriks persegi yang memiliki elemen hanya pada diagonal utamanya saja, dan diluar diagonal utamanya bernilai 0. Matriks diagonal mirip seperti matriks Identitas.
    Contoh:
    Matriks diagonal berordo 2×2
    $latex F=\begin{bmatrix}4 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}$
    Matriks diagonal berordo 3×3
    $latex G=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$
  6. Matriks Skalar
    Matriks skalar adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya bernilai sama.
    Contoh:
    Matriks skalar berordo 3×3
    $latex H=\begin{bmatrix}6 & 0 & 0 \\0 & 6 & 0 \\0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$
  7. Matriks Segitiga Atas
    Matriks segitiga atas adalah matriks persegi dengan elemen-elemen yang berada dibawah garis diagonal utamanya bernilai nol. [4]
    Contoh:
    Matriks segitiga atas berordo 3×3
    $latex X=\begin{bmatrix}4 & 7 & -2 \\0 & 2 & 7 \\0 & 0 & – 1 \end{bmatrix}$
  8. Matriks Segitiga Bawah
    Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi dengan elemen-elemen yang berada diatas garis diagonal utamanya bernilai nol. [4]
    Contoh:
    Matriks segitiga bawah berordo 3×3
    $latex Y=\begin{bmatrix}4 & 0 & 0 \\ – 3 & 2 & 0 \\- 6 & 7 & 1 \end{bmatrix}$

Baca juga: √ Relasi Matematika: Konsep, Bentuk Diagram, Sifat [Referensi] (warstek.com)

Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama serta elemen-elemen kedua matriks berada dalam posisi seletak.
Contoh:
Diberikan dua buah matriks $latex A=\begin{bmatrix}a & c \\b & d \end{bmatrix}$ dan $latex B=\begin{bmatrix}e & g \\f & h \end{bmatrix}$, maka $latex a=e, b=f, c=g$, dan $latex d=h$.

Transpose Matriks

Jika diberikan matriks A maka transpose matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan menukar baris matriks A menjadi kolom dan kolom matriks A menjadi baris.[3] Transpose matriks biasa dinotasikan dengan $latex A^{T}$.
Contoh: diberikan matriks A berordo 3×2 sebagai berikut,
$latex B=\begin{bmatrix}a & d \\b & e \\c & f \end{bmatrix}$
maka $latex B^{T}= \begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \end{bmatrix}$

Operasi Pada Matriks

  1. Penjumlahan dan pengurangan

Jika diberikan dua buah matriks A dan B maka berlaku sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan, diantaranya:

  • $latex A + B = B + A$
  • $latex A – B \neq B-A$
  • $latex (A+B)+C=A+(B+C)$

Syarat dua buah matriks dapat dijumlahkan dan dikurangi adalah ordo kedua matriks tersebut sama.

2. Perkalian Matriks

Jika diberikan dua buah matriks A dan B maka kedua matriks dapat dikalikan apabila:

  • Banyak kolom A = banyak baris B
  • Ordo hasil perkalian matriks $latex A_{p \times q}$ dan $latex B_{q \times r}$ adalah $latex C_{p \times r}$. Jumlah kolom A=jumlah baris B.
    Contoh:
    $latex AB=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}p & q \\r & s \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}ap+br & aq+bs \\cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}$

Determinan Matriks

Determinan matriks adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A biasa disimbolkan dengan det (A), det A atau |A|.[5]

Berikut cara menentukan determinan sebuah matriks:
1. Matriks berordo 2×2
Jika diketahui sebuah matriks $latex \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$
maka determinan matriks A adalah $latex Det(A)=ad – bc$

2. Matriks berordo 3×3
Dalam matriks 3×3 ada berbagai cara untuk menentukan determinan sebuah matriks, yaitu dengan menggunakan metode sarrus dan metode ekspansi kofaktor (Minor-Kofaktor). Berikut cara menentukan determinan dengan metode sarrus:
Jika diketahui sebuah matriks $latex B=\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \end{bmatrix}$ maka determinan B adalah
$latex Det(B)$ =

$latex =(aei +bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi)$

Berikut sifat-sifat yang berlaku pada determinan matriks:

  • $latex Det \big(A^{T}\big) = Det \big(A\big)$
  • $latex Det \big(A^{-1}\big) = \frac{1}{Det (A)}$
  • $latex Det \big(A.B\big) = \big(Det A\big) \big(Det B\big)$
  • $latex Det A^{m}= \big(Det A\big)^{m}$

Invers Matriks

Jika sebuah matriks A dan B saling dikalikan maka menghasilkan suatu matriks identitas, maka dapat dikatakan matriks A dan B adalah saling invers. Invers matriks A dapat disimbolkan dengan $latex A^{-1}$. Berikut cara menentukan invers matriks berordo 2×2.
Jika diketahui sebuah matriks A=$latex \begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$
maka $latex A^{-1}=\frac{1}{Det(A)} \begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \end{bmatrix}$

Berikut sifat-sifat yang berlaku pada invers matriks:

  • $latex A.A^{-1} = A^{-1}.A = I$
  • $latex \big( A^{-1} \big)^{-1} = A$
  • $latex \big( AB \big)^{-1} = B^{-1}. A^{-1}$
  • $latex AX=B \Longrightarrow X= A^{-1}B$
  • $latex XA=B \Longrightarrow X= B.A^{-1}$

Sudah paham dengan penjelasan materi diatas, yuk simak contoh soal berikut ini.

  1. Jika A =$latex \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}$ , B = $latex \begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$ dan C = $latex \begin{bmatrix}2 & 5 \\3 & 7 \end{bmatrix}$ maka $latex Det(AB+C)$ adalah..
    Penyelesaian:
    Pertama hitung terlebih dahulu $latex (AB + C)$
    $latex (AB + C)$ = $latex \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}$ $latex \begin{bmatrix}1 & 1 \\0 & 1 \end{bmatrix}$ + $latex \begin{bmatrix}2 & 5 \\3 & 7 \end{bmatrix}$
    = $latex \begin{bmatrix}1+0 & 1+2 \\3+0 & 3+4 \end{bmatrix}$ + $latex \begin{bmatrix}2 & 5 \\3 & 7 \end{bmatrix}$ = $latex \begin{bmatrix}3 & 8 \\6 & 14 \end{bmatrix}$

    Maka, $latex Det(AB + C)$ = $latex \big(3.14\big) – \big(8.6 \big) = 42-48=-6$
  2. Diketahui matriks P = $latex \begin{bmatrix}2 & 5 \\1 & 3 \end{bmatrix}$ dan Q = $latex \begin{bmatrix}5 & 4 \\1 & 1 \end{bmatrix}$ Jika $latex P^{-1}$ adalah invers matriks P dan $latex Q^{-1}$ dalah invers matriks Q maka determinan matriks $latex Q^{-1}.P^{-1}$ adalah..
    Penyelesaian:
    $latex P^{-1}= \frac{1}{Det(P)} \begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \end{bmatrix} =\frac{1}{2.3-(_1).(-5)} \begin{bmatrix}3 & -5 \\-1 & 2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3 & -5 \\-1 & 2 \end{bmatrix}$

    $latex Q^{-1}= \frac{1}{Det(Q)} \begin{bmatrix}d & -b \\-c & a \end{bmatrix} =\frac{1}{5.1-(-4).(-1)} \begin{bmatrix}1 & -4 \\-1 & 5\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & -4 \\-1 & 5 \end{bmatrix}$

    Maka:
    $latex Q^{-1}.P^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -4 \\-1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & -5 \\-1 & 2 \end{bmatrix}$
    = $latex \begin{bmatrix}1.3+(-4)(-1) & 1.(-5)+(-4).2 \\(-1).3+5.(-1) & (-1).(-5)+5.2 \end{bmatrix}$
    = $latex \begin{bmatrix}7 & -13 \\-8 & 15 \end{bmatrix}$

Referensi:

[1] https://britannica.com/science/algebra/Determinants diakses pada tanggal 22 Desember 2020

[2] https://britannica.com/biography/Arthur-Cayley diakses pada tanggal 22 Desember 2020

[3] Maulana, Aries.2016.TOP Pocket Master Book Matematika IPA SMA/MA Kelas X, XI, XII.Jakarta: PT.Bintang Wahyu.

[4] https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear diakses pada tanggal 22 Desember 2020

[5] https://id.wikipedia.org/wiki/Determinan diakses pada tanggal 22 Desember 2020



Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *