Trik Penyelesaian Persamaan Burger Dalam Melihat Karakteristik Soliton

Ditulis Oleh Ahmad Ripai Soliton adalah gelombang tidak linier yang mempertahankan bentuknya ketika merambat dengan kecepatan konstan, terlokalisasi dan bersifat […]

blank

Ditulis Oleh Ahmad Ripai

blank

Soliton adalah gelombang tidak linier yang mempertahankan bentuknya ketika merambat dengan kecepatan konstan, terlokalisasi dan bersifat stabil (Drazin, 1983; Wadati, 2001). Istilah soliton ini diperkenalkan pertama kali pada tahun 1965. Akan tetapi, studi tentang soliton telah dimulai pada tahun 1834, ketika seorang ilmuwan bernama John Scott Russell mengamati fenomena gelombang air di kanal Edinburgh-Glasgow. Russell memaparkan hasil pengamatannya ini dalam sebuah makalah yang diterbitkan Report of the British Association for the Advanced of Science (Drazin, 1983). Dalam Drazin (1983), Russell (1834) menyebutkan bahwa di kanal Edinburgh-Glasgow terdapat peristiwa sebuah kapal ditarik oleh dua ekor kuda dengan berkecepatan tinggi. Peristiwa itu memberikan sebuah fenomena yang menakjubkan setelah kapal berhenti. Setelah kapal berhenti muncul fenomena gelombang air tunggal yang menjalar dalam arah berlawanan di sepanjang kanal. Gelombang air ini menjalar dengan bentuk yang tidak berubah dalam rentang waktu yang relatif lama. Pada awalnya gelombang sejenis ini disebut sebagai gelombang soliter. Dikatakan demikian karena gelombang tersebut memiliki bentuk tunggal seperti arti kata soliter (yaitu penyendiri) dan terlokalisasi (hanya berada pada lokasi tertentu). Selain itu dalam Drazin (1983), Russell (1834) juga disebutkan melakukan percobaan laboratorium untuk menghasilkan jenis gelombang soliter ini, dengan menjatuhkan sebuah beban pada salah satu ujung saluran air seperti diagram berikut:

blank

Gambar 1 Diagram percobaan Jhon Scott Russell untuk  menghasilkan gelombang soliter (Sumber : Drazin, 1983)

Berdasarkan hasil percobaan Russel seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1 diatas muncul berbagai gagasan dari ranah para ilmuwan mengenai studi gelombang soliter itu sendiri hingga pada akhirnya mereka menyebut gelombang ini sebagai soliton.

Soliton ini sering dipelajari dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan sebagai kajian terhadap gejala alam yang bersifat tidak linier, mulai dari gejala alam dalam skala mikro sampai pada tingkat struktur besar alam semesta. Struktur besar alam semesta yang dijelaskan melalui fenomena Black Holes merupakan kategori dari kajian soliton (Villari dkk, 2018). Kajian soliton yang lain misalnya pada gelombang air dangkal, gelombang tsunami (Hiraishi dkk, 2016) dan gelombang akustik (Zhang dkk, 2017). Sementara itu, untuk skala yang lebih kecil, dinamika partikel seperti proton, elektron dan neutron serta kuark termasuk kategori dari kajian soliton (Silva dkk, 2018).

Kajian tentang soliton akhir-akhir ini sangat berkembang pesat, ditandai oleh banyaknya pemanfaatan soliton dalam bidang sains dan teknologi. Dalam bidang teknologi, soliton dimanfaatkan untuk meningkatkan performa telekomunikasi optik (Zen dkk, 2002; Liu dkk, 2016), sedangkan dalam bidang sains, soliton muncul dalam kajian hidrodinamika (Wadati, 2001), zat padat dan kristal (Maugin, 2011). Namun, untuk dapat mendeskripsikan suatu soliton dibebankan pada persoalan matematika dan fisika yang rumit, yaitu dengan menyelesaiakan persamaan matematis dalam bentuk diferensial parsial tidak linier (Lin, 2016; Liu dkk, 2017). Salah satu persamaan diferensial parsial tidak linier yang di maksud adalah persamaan Burger.

Persamaan Burger adalah persamaan diferensial parsial dalam model difusi-adveksi tidak linier yang biasanya memiliki satu variabel dalam ruang satu dimensi (Pannekoucke dkk, 2018). Persamaan ini memiliki banyak penerapan seperti pada kajian adveksi dan turbulensi satu dimensi (Pannekoucke dkk, 2018). Selain itu, persamaan ini juga diterapkan dalam mempelajari kosmologi, dinamika gas dan pada kajian mekanika fluida (Bonkile dkk, 2018). Permasalahannya sekarang adalah sangat jarang atau bahkan hampir tidak ada referensi yang menunjukkan persamaan Burger sebagai suatu persamaan yang dapat mendeskripsikan soliton. Rata-rata referensi yang ditemukan selalu memadukan persamaan Burger dengan persamaan lain untuk dapat mendeskripsikan suatu soliton. Sedangkan untuk persamaan Burger sendiri sangat jarang di temukan. Sehingga kami menyusun sebuah formulasi matematis dalam menyelesaikan persamaan Burger dengan harapan diawal formulasi yang kami susun dapat menyelesaikan persamaan Burger dan dapat menunjukkan karakteristik soliton dari hasil penyelesaian tersebut. Ada dua formulasi yang kami lakukan yaitu:

  1. Persamaan Burger diselesaikan menggunakan formulasi yang berbasis Separasi Variabel / Pemisahan Variabel (deret Fourier)
  2. Persamaan Burger diselesaikan menggunakan formulasi yang berbasis transformasi Fourier (teknik matematika yang popular dalam menyelesaiakan persamaan diferensial parsial.

Alhasil, dari kedua formulasi yang digunakan kami memperoleh solusi sebagai berikut:

A. Penyelesaian persamaan Burger dengan separasi variabel

blank

Gambar 2 Visualisasi solusi persamaan Burger menggunakan separasi Variabel dengan nilai masukan N=100 dan ∆t=0.01s (a) ε = 1, (b) ε = 0.1dan (c) ε = 0.01

B. Penyelesaian persamaan Burger dengan transformasi Fourier

blank

Gambar 3 Visualisasi solusi persamaan Burger menggunakan transformasi Fourier dengan nilai masukan N=100 dan ∆t=0.01s (a) ε = 1, (b) ε = 0.1    dan (c) ε = 0.01

Berdasarkan hasil yang diperlihatkan pada Gambar 2 dan 3 hanya formulasi yang berbasis transformasi Fourier yang berhasil menemukan solusi soliton dari persamaan Burger walaupun hanya stabil dalam selang waktu 0.1s. Formulasi yang berbasis pada separasi variabel (deret Fourier) sama sekali tidak berhasil mendapatkan solusi soliton dari persamaan Burger tersebut hanya berupa gelombang meluruh terhadap waktu. Sesuai dengan hasil yang diperoleh diambil kesimpulan bahwa persamaan Burger dapat menunjukkan karakteristik soliton tanpa digabung atau dipadukan dengan persamaan lain.

SUMBER:

  • Bonkile, M. P., Awasthi, A., Clakshmi, Mukundan, V. dan Aswin, V. S., 2018, A Systematic Literature Riview of Burgers’ Equation with Advances, Journal of Physics, Vol. 69, Hal. 1-21
  • Drazin, P. G., 1983, Solitons, Cambridge University Press, New York.
  • Hiraishi, T., Azuma, R., Mori, N., Yasuda, T. dan Mase, H., 2016, A New Generator for Tsunami Wave Generation, Journal of Energy and Engineering, Vol. 10, Hal. 166-172.
  • Lin, B., 2016, Spline Solution for the Nonlinear Schrödinger Equation, Journal of Applied Mathematics and Physics, Vol. 4, Hal. 1600-1609.
  • Liu, W., Zhang, Y., Pang, L., Hao, Y., Ma, G. dan Lei, M., 2016, Studi on the Control Technology of Optical Solitons In Optical Fibers, Nonlinear Dyn, Vol. 178, Springer, Hal. 1-5.
  • Liu, W., Yang, C., Liu, M., Yu, W., Zhang, Y. dan Lei, M., 2017, Effect of HighOrder Dispersion on Three-Soliton Interaction for the VariableCoefficients Hirota Equation, Physical Review E, Vol. 96, Hal. 1-5.
  • Maugin, G. A., 2011, Soliton in Elastic Solids (1938-2010), Mechanics Research Communications, Vol. 38, Elsevier, Hal. 341-349.
  • Pannekoucke, O., Bocquet M. dan Ménard, R., 2018, Parametric Covariance Dymanics For the Nonlinear Diffusive Burgers Equation, Nonlinear and Processes Geophysics, Vol. 25, Hal. 481-495.
  • Ripai, A., Abdullah, Z., dan Syafwan, M., 2019, Analisis Solusi Persamaan Burger Sebagai Solusi Soliton Menggunakan Transformasi Hopf-Cole, Jurnal Fisika Unand, Vol. 8, No.2, Hal. 171-177.
  • Silva, A., Urbano, D. dan Kim, H. C., 2018, Flavor Structure of the Nucleon Electromagnetic Form and Transverse Charge Densities in the Chiral Quark-Solitons Model, Progress of Theoretical and Experimental Physics, Vol. 2018, Hal. 1-21.
  • Villari, L. D. M., Marcucci, G., Braidotti, M. C. dan Conti, C., 2018, Sine-Gordon Soliton As Model for Hawking Radiation of Moving Black Holes and Quantum Soliton Evaporation, Journal of Physics Communications, Vol. 2, Hal. 1-10.
  • Wadati, M., 2001, Introduction to Solitons, Journal of Physics, Pramana, Vol. 57, Hal. 841-847.
  • Zhang, J., Garcia, V. R., Theocharis, G., Richoux, O., Achilleos, V. dan Frantzeskakis, D. J., 2017, Bright and Gap Solitons in Membrane-Type Acoustic Metamaterials, Physical Review E, Vol. 69, Hal. 1-11.
  • Zen, F. D., Hidayat, W. dan Shiddiq, R., 2002, Analisis Numerik Propagasi Soliton Dalam Serat Optik, Kontribusi Fisika Indonesia, Vol.13, Hal. 114-120.

Tinggalkan Komentar

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *