Teorema Green dalam Pencitraan Seismik di Seluruh Skala

. Dari masa ke masa metode pencitraan seismik terus berevolusi. Khususnya dalam Komunitas Eksploasi dan Bumi Padat yang secara independen […]

blank

.

Dari masa ke masa metode pencitraan seismik terus berevolusi. Khususnya dalam Komunitas Eksploasi dan Bumi Padat yang secara independen mengembangkannya. Berdasarkan persepsi penulis, komunitas yang berbeda menjaadi semakin dekat dalam lima belas tahun terakhir. Korelasi yang ada menyebabkan terjadinya pemupukan silang antara masyarakat melalui sesi dqan lokakarya yang diselenggarakan bersama. Selain itu juga beberapa isu khusus dalam jurnal (Sebagai contoh “Interferometri Seismik, Geofisika, Juli-Agustus 2006; Perkembangaan baru pada pencitraan dan pemantauan dengan gangguan seismik, “Comptes Rendus Geoscience,” September 2011,dll). Terutama juga dalam bidang adjoint tomography dalam komunitas bumi bumi padat dan inversi bentuk gelombang penuh dalam eksplorasi komunitas terlihat memiliki beberapa kesamaan. Pada saat ini sedang berlangsung kerja sama antara peneliti dari kedua komunitas tersebut. 

Komunitas Eksplorasi dan Bumi Padat telah mengembangkan berbagai metode pencitraan seismik yang digunakan sebagai sumber data pasif dan aktif. Walaupun prinsip yang digunakan tampak berbeda tetapi beberapa dari metode yang dikembagkan tersebut didasarkan pada Teorema Green. Makalah ini ditulis untuk membahas berbagai metode pencitraan yang menggunakan bentuk tertentu dari teorema Green (yakni representasi dari fungsi Green yang homogen, yang aslinya dikembangkan untuk holografi optik sebagai titik pangkalnya. Metode yang akan dibahas adalah akustik pembalikanan waktu, interferometri seismik, propagasi balik, sumber penerima redatuming serta pencitraan dengan pemfokusan ganda. Menurut perkembangan terakhir dan meninjau pendekatan klasik, metode Merchenko digunakan dalam memperhitungkan beberapa hamburan. Secara singkat akan dibahas  mengenai potensi dan keterbatasan metode tersebut. Representasi fungsi Green homogen klasik berdasarkan pada integral batas tertutupnya sehingga asumsi implisit untuk semua metode ini adalah bahwa media yang menari bisa diakses dari semua sisi. Sejauh ini aplikasi seismik mendapatkan posisi yang terbatas pada permukaan bumi dan sebagian besar integral batas tertutupharus diabaikan. Berdasarkan hal tersebut tersirat bahwa ada banyak refleksi antarmuka lapisan tidak ditangani dengan benar.  Untuk mengatasi hal tersebut, maka akan dibahas representasi satu sisi yang baru-baru ini dikembangkan dari fungsi Green homogen. Meskipun bumi padat mendukung gelombang elastodinamik, dalam makalah ini hanya akan mempertimbangkan gelombang akustik saja. Meskipun di beberapa tempat tetap diberikan referensi tentang perluasan metode yang menggunakan gelombang elastodinamik.

.

1. Teori dan aplikasi representasi medan gelombang klasik

1.1. Representasi fungsi Green homogen klasik

  Setelah meninjau representasi klasik dari fungsi Green homogeny penulis menganggap akustik lossless yang tidak homogeny sedang dengan massa jenis ρ=ρ(x) dan kompresibilitas k= k(x), dimana , dimana x=x1,x2,x3 menunjukkan titik koordinat Cartesian vektor. Selain itu, sumber titik impulsive satuan dari kepadatan laju injeksi volume akan ddefinisikan sebagai Selain itu, sumber titik impulsive satuan dari kepadatan laju injeksi volume akan didefinisikan sebagai q(x,t)= δ(xxA)δ(t). Dalam hal ini, δ menunjukkan funugsi delta, xA menunjukkan posisi sumber, dan (t) adalah waktu. Untuk sumber ini diamati pada setiap posisi x dalam media tidak homogeny adaalah fungsi Green G(x, xA,t ) . Hal tersebut memenuhi persamaan gelombang di bawah ini:

. i(ρ1iG) κ2t G = δ(xxA)tδ(t)#(1).

Dimana t adalah operator diferensial temporal /t untuk operator diferensial spasial /xi. Dalam subskrip latin (kecuali t) digunakan nilai 1, 2, 3 dan berlaku subskrip berulang untuk konvensi penjumlahan Einstein. G(x, xA, t)=0 untuk t<0, sehingga G(x, xA, t) merupakan solusi kausal untuk persamaan 1. Pembalikan waktu dari fungsi Green G(x, xA, t) adalah solusi penyebab persamaan 1, dengan t<0 , merambat mundur menuju titik xA Untuk fungsi Green homogen Gh(x, xA, t) didefinisikan sebagai superposisi dari fungsi Green dan pembalik waktunya menurut:

.Gh(x, xA, t)= G(x, xA, t)+G(x, xA, t)#(2).

Persamaan di atas memenuhi persamaan gelombang homogen yaitu persamaan gelombang tanpa singularitas di sisi kanan, sehingga

.i(ρ1iGh) κ2t Gh=0.

Kemudian transformasi Fourier didefinisikan menurut ruang dan waktu u(x, t) sebagai

      u(x,ω)= u(x,t)iωtdt                   (3)

(ω) adalah frekuensi sudut sedangkan (i) menunjukkan unit i sebagai:

.Gh(x, xA, ω)= G(x, xA, ω)+G*(x, xA1, ω)=2R{G(x, xA, ω)}#(4).

Tanda bintang superscript menunjukkan konjugasi kompleks dan R artinya bagian yang sebenarnya sudah diambil.

blank
Gambar 1 Representase konfigurasi homogon dari persamaan 5

Perhatikan gambar 1. Ketika media di luar S homogen dan S cukup halus, representasi ini bisa didekati dengan persamaan berikut:

Gh( xB,xA, ω)=s1iωρ(x)..({iG(x,  xB,ω)}G*(x,  xA,ω)G(x,  xB,ω) iG*(x,  xA,ω)nidx (5)

Dengan perkiraan bahwa gelombang cepat diabaikan dalam S.

1.2. Akustik Pembalikan Waktu

  Fink dan rekan kerjanya telah mempelopori perkembangan dalam bidang akustik pembalikan waktu. Hal tersebut berdasarkan pada fakta bahwa persamaan gelombang akustik untuk media lossless adalah invariant dalam waktu pembalikan.

Pada gambar 2a sumber impulsive di  xA memancarkan medan gelombang yang setelah propagasi melalui media yang sangat hamburan, direkam oleh penerima di x pada batas S0 Rekaman dilambangkan sebagai vn(x,  xA, t) dimana vn merupakan komponen normal kecepatan pertikel. Pada gambar 2b pembalikan waktu ini rekaman kompleks,  vn(x,  xA, -t). Sedangkan pada gambar 2c merupakan snapshot dari lapangan di t = 0 yang mengandung fokus pada   xA dan untuk gambar 2d menunjukkan penampang amplitudo pada t = 0 pada kedalaman tingkat fokus.

blank

Gambar 2 Prinsip Bidang Akustik Pembalik Waktu. (a) Propagasi ke depan dari XA ke permukaan S0. (b) Emisi dari pembalik waktu. (c) Snapshot dari gelombang pada saat t=0. Dengan focus di XA..(d) Amplitudo dari cross-section dari bidang focus.Pada poin d, kurva berwarna hijau menunjukan hamburan yang hanya ada selama propagarasi maju, dan kurva berwarna merah menunjukkan bahwa tidak ada hamburan baik pada propagarasi maju atau mundur.

Prinsip pembalikan waktu bisa dibuat lebih kuantitatif dengan menggunakan teorema Green. Yang pertama adalah dengan menggunakan persamaan gerak yang komponen normal kecepatan partikel dalam S dinyatakan dalam domain frekuensi sebagai :

.vn(x,  xA, ω)= 1iωρ(x)..ni iG(x,  xA, ω)s(ω)#(6).

Kemudian direpresentasikan dan diperoleh

.Gh(  xB,xA, ω)s*(ω)=2.sG( xB,x,ω)v*n(x,  xA, ω)dx#(7).

Atau dengan menggunakan persamaan 2 dengan domain waktu yaitu:

.G(  xB,xA, t)+G(  xB,xA, t)=2.sG( xB,x,t)*vn(x,  xA, ω)dx#(8).

              ‘propagarator’ ‘sumber’

Dimana: tanda (*) menyatakan konvulasi temporal. Dan integrasi ini terjadi pada batas sumber tertutup S.

Persamaan di atas adalah ekspresi fundamental untuk bidang akustik pembalik waktu. Adapun Sisi sebelah kanan persamaan adalah sisi kuantisasi emisi dari bidang akustik pembalik waktu vn(x,  xA, ω) oleh sumber di titik x dan pada batas S. Propagarasi oleh bidang ini yaitu oleh fungsi Green G( xB,x,t) melalui media yang tidak homogen pada semua poin Xb di dalam S. Sedangkan pada persamaan di sebelah kiri merupakan kuantisasi di semua poin Xb di dalam S, dimana terdiri dari propagarasi mundur.

  Kemudian dengan mengasumsikan fungsi sumber s(t) adalah simetris, maka:

.G(  xB,xA, t)+G(  xB,xA, t)=ρ2πr..˙s(rc..)#(9).

  Selanjutnya, gambar (3) dibawah ini akan menjelaskan mengenai pembalik waktu akustik pada medium berlapis.

Chart, diagram, histogram Description automatically generated

Gambar 3 Pembalik waktu akustik pada medium berlapis. (a) Propagarasi maju. (b) Emisi dari pembalik waktu yang merekam dari permukaan S0 sampai dalam medium dan snapshot pada bidang gelombang saat t=0, dengan focus di titik XA.

1.3. Interferometri Seismik

  Dalam kondisi tertentu, korelasi silang rekaman kebisingan sekitar yang berada di dua penerima, akan menyatu dengan respons yang diukur di salah satu penerima jika ada sumber impulsig di posisi penerima lainnya. Metode inilah yang membuat sumber virtual pada posisi penerima sebenarnya sebagai pengambilan fungsi Green atau Interferometri Seismik.

blank

Gambar 4 Prinsip dari Interferometeri Seismik. (a) Propagarasi kebisingan ambien dari S0 melalui suatu medium tidak hoogen yang diterima oleh receivers di titik XA dan XB. (b) Cross-korelasi dari tanggapan di titik XA dan XB

  Pada gambar 4a menjelaskan bahwa distribusi sumber kebisingan N (x,t) tidak berkolerasi pada beberapa batas So. Yang mana memancarkan pada gelombang melalui media yang tidak homogen ke receiver titik XA dan XB. Korelasi silang dari respon di titik XA dan XB terjadi secara konvergen. Gambar 4b menjelaskan hasil untuk sumber virtual tetap pada titik XA dan kelompok receiver variabel XB.

  Berdasarkan persamaan-persamaan yang telah diberikan akan didapat sebuah pernyataan fundamental untuk interferometri ambient-noise yang berupa,

.{G(xB,xA,t)+G(xB,xA,t)}*CN(t) 2ρ0c0..<p(xB,t)*p(xA,t)>#(10).

dengan ruas kiri terdiri atas superposisi dari respon virtual-source {G(xB,xA,t)} dan pembalikan waktunya +G(xB,xA,t). Sedangkan ruas kanannya merupaan korelasi cross dari respon pada xA dan xB. Pada perumusan di atas asumsikan juga bahwa bidang p(xB,t) dan p(xA,t) merupakan respone dari derau sumber pada sebuah batas tertutup S0, meskipun pada contohnya derau bidang yang dipancarkan pada suatu medium berasa dari sumber yang bersifat finite open boundary. S0 pada dasanya merupakan representasi dari garis batas dan Fungsi Green dari suatu permukaan gelombang. Permukaan gelombang yang diambil pada fungsi green ini kemudian kerap digunakan dalam tomografi.

  Selain dengan metode di atas yang merupakan interferometri surface-wave, terdapat pula interferometri body-wave yang kerap digunakan dalam reflection imaging. Penerapannya sendiri misalnya untuk menggambarkan kerak bumi. Perbedaan antara metode ini dan metode sebelumnya S0 baik pada sub-permukaan atau pun permukaan atas akan selalu berupa permukaan bebas. Sehingga, bagian integral batas tertutup yang tadinya ada dalam perumusan akan hilang dan digantikan dengan integral terbuka.

  Namun, meskipun kedua metode di atas telah banyak digunakan, keduanya digunakan dengan asumsi bahwa derau sumber akan menyebar secara merata pada permukaan S yang memiliki fungsi autokorelasi yang sama. Asumsi ini sebenarnya sedikit berbeda dengan kenyataan di lapangan yang penyebarannya sering kali tidak teratur dan fungsi autokorelasinya akan berbeda untuk tiap sumber yang berbeda. Oleh karenanya kemudian dikembangkan pendekatan-pendekatan lain yang sekiranya dapat mengatasi isu ini. Beberapa diantaranya seperti korelasi iteratif, multidimensional deconvolution, directional balancing, dan generalized interferometi, menghindari pengambilan fungsi green.

blank

Gambar 5 a) Derau yang diobservasi oleh penerima dibawah permukaan, karena derau tak terkorelasi dari sumber pada sub-permukaan b) Pengambilan respon refleksi, termasuk refleksi berlipat

1.4. Back Propagation

Propagasi balik merupakan suatu metode yang kerap digunakan untuk mengambil bidang 3D dalam suatu volume dari bidang 2D pada suatu batas. Metode ini kerap dikenal sebagai holografi. Pada sebuah bidang berbatas S0 dikarenakan suatu sumber pada xA dalam lapisan medium akan terpropagasi balik pada poin xb dalam medium dengan pembalikan waktu secara langsung dari fungsi green. Namun, meskipun bidang di atas suatu sumber akan terambil secara jelas pada metode ini, bidang di bawahnya tidak akan terambil. Propagasi balik ini, kemudian secara matematis dirumuskan sebagai berikut.

Gh(xB,xA,ω)s(ω)=2  s1iωρ(x)..{iG*(x,xB,ω)}G(x,xA,ω)s(ω)nidx      (11)

blank

Gambar 6 a) Bidang gelombang p- (x,xA,t) pada batas S0 dan ilustrasi dari propagasi balik ke xB dalam medium. b) Propagasi bali dari operator Gd(x,xB,-t)

Pada perumusan matematis propagasi balik digunakan domain frekuensi bukan domain waktu. Oleh karenanya dengan begitu nilai bidang GGh(xB,xA,ω)s(ω) dapat diperoleh pada nilai berapapun xB dalam medoum. Namun, karena pada praktiknya nilai bidang akan diobservasi hanya pada bagian horizontal terbatas S0 dari batas, maka pendekatan praktisnya adalah dengan mengubah S menjadi S0. Konsekuensinya pemantulan berlipat yang terjadi akan tak terkendali secara benar. Kemudian akan digunakan operator pemfokus yang didefinisikan sebagai,

.F+d(x,xB,ω)=2iωρ(x)..3G*d(x,xB,ω)#(12).

dengan persamaan pendekatan untuk memperoleh nilai yang cukup akurat adalah sebagai berikut.

.p(xB, xA,ω)= S0F+d(x,xB,ω)p(x,xA,ω)dx#(13).

Dimana n3 yang digunakan adalah -1 untuk mempertimbangkan nilai axis positif x3 yang mengarah kebawah. Kedua persamaan tersebut merepresentasikan pendekatan umum dari propagasi balik untuk banyak aplikasi dalam seismic imaging dan inversi. Pendekatakan ini bekerja dengan baik pada gelombang primer dalam media yang memiliki kontras rendah, tetapi akan berlaku sebaliknya pada kontras yang tinggi dan ketika refleksi berlipat antar permukaan lapisan yang tak bisa diabaikan.

blank

Gambar 7. a) Prinsip dari source-receiver redatuming. b) Refelsi gambar r(xA)=P-,+(xA,xA,t=0) untuk seluruh xA

1.5. Pemfokusan Berlipat Untuk Source-Receiver Berulang Dan Penggambaran

Setelah sebelumnya membahas sumber yang berada di bawah permukaan medium, maka metode ini digunakan untuk menilik ketika keduanya yaitu sumber dan penerimanya ada di permuakaan. Pertama-tama dibuat persamaan dibawah ini.

.p(xA, x,ω) S0F+d(x,xA,ω)p,+(x,x,ω)dx#(14).

Dengan:

.F+d(x,xA,ω)=2iωρ(x)..3G*d(x,xA,ω)#(15).

.

Kemudian denganj menerapkan sourve-receiver reciprocity didapatkan

p,+(xA, x,ω) S0p,+(x,x,ω)F+d(x,xA,ω)dx             (17)

yang kemudian dimofikasi lagi menjadi,

.p,+(xB,xA,ω) s0  S0F+d(x,xB,ω) p,+(x,x,ω)F+d(x,xA,ω) dx#(18).

blankblank

.

.

.

.

.

Gambar 7. (a) Prinsip pengulangan sumber-penerima. (b) Gambar reflektifitas r(xA)p,+(xA,xA,t=0) untuk semua xA.

1.6. Pengulangan dan pencitraan penerima sumber dengan pemfokusan ganda

Pada bagian sebelumnya kita membahas data perambatan balik p(x, xA, ω), yang merupakan respons terhadap sumber di dalam media xA, yang diamati pada x di permukaan. Di sini kami memperluas proses ini untuk situasi di mana sumber dan penerima berada di permukaan. Untuk tujuan ini, pertama-tama kami mengadaptasi persamaan

.p(xB,xA,ω).S0F+d(x,xB,ω)p(x,xA,ω)dx#(19).

dan

.F+d(x,xB,ω)=2iωρ(x)..3G*d(x,xB,ω)#(20).

Kita mengganti S0 dengan S0 (tepat di atas S0), x dengan x S0 , xA dengan x S0 dan xB dengan xA, dan kita menambahkan tanda tambah (+) dituliskan di atas (superscript) ke bidang gelombang (p, sebagaimana penjelasan di bawah), yang menghasilkan

(21)

.

p,+(xA,x,ω).S0F+d(x,xA,ω)p,+(x,x,ω)dx,

Dengan

.F+d(x,xA,ω)=2iωρ(x)..3G*d(x,xA,ω)#(22).

Dimana 3 merupakan singkatan untuk diferensiasi yang berhubungan dengan x3 . Dalam persamaan (24), p,+(x,x,ω)=G,+(x,x,ω)s(ω)  mewakili data refleksi di permukaan. Superskrip pertama (-) menunjukkan bahwa bidang sedang naik di x ; superskrip kedua (+) menunjukkan bahwa sumber di x memancarkan gelombang ke bawah. Selanjutnya, p,+(xA,x,ω)=G,+(xA,x,ω)s(ω) adalah bidang merambat kembali ke atas di xA. Menerapkan timbal balik sumber-penerima di kedua sisi persamaan (21) kami dapatkan

(23)

p,+(x,xA,ω).S0p,+(x,x,ω)F+d(x,xA,ω)dx

Penerima untuk gelombang naik di xA telah berubah menjadi sumber gelombang turun di xA, dst. Oleh karena itu, persamaan (26) merupakan perambatan balik bersumber dari x pada S0 ke xA. Mensubstitusikan ini ke dalam persamaan (22), dengan di kedua sisi p , mengganti dengan p,+ , menghasilkan

(24)

.

p,+(xB,xA,ω).S0.S0F+d(x,xB,ω)p,+(x,x,ω)F+d(x,xA,ω)dxdx.

Di sini p,+(x,x,ω) mewakili respon atas refleksi di permukaan (panah biru pada Gambar 7a). Demikian pula, p,+(xB,xA,ω) menunjukkan respon atas refleksi ke sumber gelombang turun di xA , diamati oleh penerima untuk gelombang naik di xB (panah kuning pada Gambar 7a). Ini diperoleh dengan merambatkan kembali sumber dari x ke xA dan penerima dari x ke xB , ditunjukkan oleh panah putus-putus pada Gambar 7a. Dalam eksplorasi seismologi, proses ini disebut (source-receiver) mengutip (Berkhout, 1982; Berryhill, 1984) dan berkaitan erat dengan interferometri source-receiver (Curtis dan Halliday, 2010b). Untuk perluasan elastodinamik, lihat Kuo dan Dai (1984), Wapenaar dan Berkhout (1989) dan Hokstad (2000).

Respon pengulangan p,+(xB,xA,ω) dapat digunakan untuk pencitraan reflektifitas dengan mengatur xB sama dengan xA dan memilih =0 , komponen dalam domain waktu, sebagai berikut

(25)

.

r(xA)p,+(xA,xA,t=0)=12π..p,+(xA,xA,ω)dω.

Proses gabungan (persamaan 27 dan 28) terdiri dari pencitraan dengan pemfokusan ganda (Berkhout, 1982; Wiggins, 1984; Bleistein, 1987; Berkhout and Wapenaar, 1993; Blondel et al., 2018), karena penerapan melibatkan dua kali pengoperasian pemfokusan F+d(x,xA,ω). Dengan mengambil variabel titik fokus xA , diperoleh gambaran daya pantul (refleksivitas) dari seluruh wilayah yang diinginkan. Gambar 7b menunjukkan citra yang diperoleh dengan cara ini dari media berlapis yang sama seperti yang dijelaskan dalam contoh sebelumnya. Perhatikan bahwa antarmuka dicitrakan dengan jelas, tetapi juga ada artefak yang signifikan karena beberapa refleksi tidak ditangani dengan benar. Pada bagian 3.4 dan 3.5 kami membahas pendekatan yang lebih teliti untuk pengulangan dan pencitraan penerima sumber dengan pemfokusan ganda, yang menjelaskan beberapa refleksi berdasarkan data yang ada.

.

2. Teori dan aplikasi keterwakilan (representasi) medan gelombang satu sisi yang dimodifikasi

Aplikasi teorema Green, yang dibahas di bagian sebelumnya, semuanya berasal dari representasi fungsi Green klasik yang homogen. Representasi ini tepat, tetapi melibatkan integral di atas batas tertutup. Dalam banyak situasi praktis medium yang diminati hanya dapat diakses dari satu sisi, yang mengimplikasikan bahwa integrasi hanya dapat dilakukan melalui batas terbuka. Ini menginduksi perkiraan, di mana perlakuan tidak lengkap dari beberapa refleksi adalah yang paling signifikan. Berikut ini kita membahas modifikasi representasi fungsi Green homogen yang melibatkan integral di atas batas terbuka namun memperhitungkan semua refleksi ganda. Kami menyebut representasi yang dimodifikasi ini sebagai representasi fungsi Green homogen satu sisi. Kami membahas bagaimana ini dapat digunakan untuk meningkatkan beberapa aplikasi yang dibahas di bagian sebelumnya.

blank

Gambar 8 Pengenalan fungsi fokus, untuk digunakan dalam representasi fungsi Green homogen satu sisi. (a) Emisi bagian bawah fungsi pemfokusan dari S0 ke versi terpotong dari media sebenarnya. (b) Tanggapan di S0 dan SA.

2.1. Representasi fungsi Green homogen satu sisi

Representasi fungsi Green homogen klasik (persamaan (5) dan (6)) seluruhnya diformulasikan dalam istilah fungsi Green dan pembalikan waktunya. Fungsi A Green adalah respons kausal ke sumber di posisi tertentu dalam ruang, katakanlah di xA . Fungsi Green yang dibalik waktu dapat dilihat sebagai fungsi pemfokusan yang berfokus pada xA . Namun, ini hanya berlaku jika konvergen ke xA secara merata dari semua arah, yang dapat dicapai dengan memancarkannya ke medium dari batas tertutup. Untuk situasi praktis, kita memerlukan jenis fungsi pemfokusan lain, yang, ketika dipancarkan ke media dari satu batas, berfokus pada xA. Gambar 8 mengilustrasikan prinsip tersebut. Ini menunjukkan versi terpotong dari media, yang identik dengan media sebenarnya antara batas atas S0 dan bidang fokus SA (bidang yang berisi titik fokus xA ), tetapi homogen di atas S0 dan di bawah SA . Dalam media terpotong ini, kami mendefinisikan fungsi fokus f1(x,xA,t) , di mana xA menunjukkan titik fokus. Pada posisi x mana pun, fungsi fokus terdiri dari bagian turun dan naik, mengacu

.f1(x,xA,t)=f+1(x,xA,t)+f1(x,xA,t)#(26).

Di mana superskrip + dan – masing-masing menunjukkan ke bawah dan ke atas. Gambar 8a menunjukkan bagaimana bagian bawah dari fungsi fokus, f+1(x,xA,t), dipancarkan dari x pada S0 ke dalam medium. Peristiwa pertama (pada waktu negatif) menjalar ke bawah menuju titik fokus xA (ditunjukkan dengan sinar kuning bagian luar). Di jalurnya ke titik fokus, ia akan direfleksikan pada antarmuka lapisan, yang ditunjukkan oleh sinar biru. Selama propagasi ke atas, sinar biru ini bertemu dengan sinar kuning baru (yang berasal dari peristiwa selanjutnya dari fungsi pemfokusan), sedemikian rupa sehingga secara efektif tidak ada refleksi ke bawah yang terjadi pada antarmuka lapisan, dll. Oleh karena itu, hanya peristiwa pemfokusan pertama. fungsi mencapai kedalaman fokus, yang berfokus pada xA . Gambar 8b menunjukkan respons ke fungsi fokus, di S0 dan SA. Respons di S0 adalah bagian naik dari fungsi fokus, f1(x,xA,t) . Tanggapan di SA adalah bidang fokus ke bawah. Karena setengah ruang di bawah SA homogen, tidak ada gelombang naik yang mencapai bidang fokus. Kondisi pemfokusan pada bidang fokus adalah (Wapenaar et al., 2014)

(31)

.

(30)

.

.[3f+1(x,xA,t)]x3=x3,A=12..ρ(xA)δ(xHxH,A)tδ(t)#(27).

[3f1(x,xA,t)]x3=x3,A=0

Di sini x3,A (koordinat x3 dari titik fokus xA ) menunjukkan tingkat kedalaman bidang fokus SA; xH=(x1,x2) dan xH,A=(x1,A,x2,A) adalah vektor koordinat horizontal. Perhatikan bahwa bidang fokus pada Gambar 8b adalah versi fokus terbatas pita yang ditentukan dalam persamaan (30). Batasan pita ini disebabkan oleh fakta bahwa, untuk alasan stabilitas, gelombang cepat ditekan dalam fungsi pemfokusan.

Mengingat fungsi fokus untuk titik fokus di xA dan fungsi Green untuk sumber di xB, representasi satu sisi dari fungsi Green homogen dalam domain frekuensi terbaca (Wapenaar et al., 2016a)

(28)

.

Gh(xB,xA,ω)=2.S01ωρ(x)..({iGh(x,xB,ω)}J{f1(x,xA,ω)}Gh(x,xB,ω)J{if1(x,xA,ω)}))nidX

Dimana J menunjukkan bagian imajiner. Derivasi dapat ditemukan di materi tambahan, bagian 2.2 (representasi satu sisi yang serupa untuk bidang gelombang vektorial diturunkan oleh Wapenaar et al. (2016b) dan diilustrasikan dengan contoh numerik oleh Reinicke Urruticoechea dan Wapenaar (2019). Dalam persamaan (28 ), S0 mungkin merupakan batas melengkung. Selain itu, media aktual, di mana fungsi Green didefinisikan, mungkin tidak homogen di atas S0 ( selain tidak homogen di bawah S0 ). Perhatikan kemiripannya dengan representasi klasik persamaan (6) Berbeda dengan representasi klasik, yang tepat, persamaan (28) berpegang pada asumsi bahwa gelombang evanescent dapat diabaikan. Ketika S0 horizontal dan media di atas S0 homogen (untuk fungsi Green serta untuk fungsi fokus), representasi ini dapat diperkirakan dengan (Van der Neut et al., 2017).

(33)

.

.Gh(xB,xA,ω)=4R.S0G(x,xB,ω)3(f+1(x,xA,ω){f+1(x,xA,ω()}*)dx)#(29).

Untuk derivasi, lihat materi pelengkap, bagian 2.3. Untuk fungsi Green yang terdekomposisi G,+(xB,xA,ω) , yang diperkenalkan di bagian 2.5, kami memiliki representasi berikut (dengan menggabungkan persamaan 31 dan 38 dari bahan tambahan)

.

.

.G,+(xB,xA,ω)+χ(xB)f1(xB,xA,ω)=2.S01iωρ(x)..G,+(x,xB,ω)3f+1(x,xA,ω)dx#(30).

Di mana χ adalah fungsi karakteristik media yang dilingkupi oleh S0 and SA , didefinisikan sebagai

χ(xB)=...1,  ..12..,  ..0,  ..

Representasi persamaan (33) dan (34) membentuk titik awal untuk memodifikasi beberapa aplikasi yang dibahas di bagian 2. Metode ini, yang akan dibahas di bagian selanjutnya, memiliki kesamaan yaitu menggunakan fungsi pemfokusan. Fungsi focus f+1(x,xA,t) untuk x pada S0 adalah kebalikan dari respon transmisi dari media yang terpotong Antara S0 dan SA . Oleh karena itu, ketika model rinci medium antara tingkat kedalaman ini tersedia, respon transmisi dapat dimodelkan secara numerik dan f+1(x,xA,t) dapat diperoleh dengan membalik respon transmisi ini. Selanjutnya, f1(x,xA,t) dapat diperoleh dengan menerapkan respons refleksi dari media yang terpotong ke f+1(x,xA,t) . Ini jelas merupakan pendekatan yang digerakkan oleh model.

(31)

.

for xB on S=S0SA,

for xB outside 𝕊

for xB between S0 and SA,

.

.

.

Di sisi lain, ketika respons refleksi dari media aktual tersedia di S0 , fungsi fokus f+1(x,xA,t) dan f1(x,xA,t) untuk x di S0 dapat diambil dari respons refleksi ini dengan ekstensi 3D dari metode Marchenko (Wapenaar et al., 2014; Slob et al., 2014). Metode ini membutuhkan perkiraan awal f+1(x,xA,t) , yang mana seseorang harus menggunakan kebalikan dari kedatangan langsung respon transmisi. Ini hanya membutuhkan model media yang mulus Antara S0 and SA . Dalam praktiknya, peraambatan kembali datang langsung dari fungsi Green, Gd(x,xA,t) , biasanya diambil sebagai perkiraan awal. Karena metode Marchenko 3D menggunakan respons refleksi (diperoleh dari pengukuran) dan model medium yang halus, ini adalah pendekatan berbasis data untuk mengambil fungsi pemfokusan. Diskusi lebih lanjut tentang metode Marchenko 3D berada di luar cakupan makalah ini.

2.2. Modifikasi Akustik pembalikan waktu

Kami membahas modifikasi akustik pembalikan waktu. Dengan asumsi fungsi fokus tersedia untuk x at S0 (misalnya dari metode Marchenko), kami mendefinisikan bidang kecepatan partikel baru, menurut

.

^

.υ*n(x,xA,ω)=1iωρ(x)..3(f+1(x,xA,ω){f1(x,xA,ω()}*))s(ω)#(32).

Di mana untuk s(ω) kita ambil spektrum nilai riil. Menggunakan ini dalam persamaan (33) kita dapatkan

^

.Gh(xB,xA,ω)s(ω)=4R.S0G(xB,x,ω)υ*n(x,xA,ω)dx#(33).

Domain waktu ini menjadi

^

^

.Gh(xB,xA,t)*s(t)=2.S0G(xB,x,t)*υ*n(x,xA,t)dx+2.S0G(xB,x,t)*υ*n(x,xA,t)dx#(34).

Integral pertama sama dengan persamaan (8) (kecuali bahwa υn didefinisikan secara berbeda), sedangkan integral kedua adalah pembalikan waktu dari yang pertama. Untuk aplikasi ultrasonik, dengan asumsi ada penerima di satu atau lebih lokasi xB bidang υn(x,xA,t) dapat dipancarkan secara fisik ke dalam media nyata dan responsnya dapat diukur pada xB .

^

^

Fungsi Green homogen diperoleh dengan melakukan superposisi respons ini dan pembalikan waktunya. Untuk aplikasi geofisika, integral pertama, setidaknya secara teori, dapat dievaluasi dengan memancarkan bidang υn(x,xA,t) secara numerik ke dalam model bumi. Superposisi integral ini dan pembalikan waktunya memberikan fungsi Green yang homogen. Mengikuti salah satu dari prosedur ini, hasil yang diperoleh pada t=0 ditunjukkan pada Gambar 9b. Sebagai perbandingan, Gambar 9a menunjukkan hasil pembalikan waktu klasik dari Gambar 3b. Perhatikan karakter berbeda dari bidang υn and υn di panel atas, yang hanya memiliki satu kejadian yang sama. Potret pada t=0 di panel bawah juga sangat berbeda: artefak pada Gambar 9a hampir seluruhnya tidak ada pada Gambar 9b.

^

^

Gambar terakhir hanya menunjukkan fokus yang jelas pada xA . Mendapatkan fokus yang akurat seperti pada Gambar 9b dengan memancarkan bidang υn(x,xA,t) secara numerik ke bumi memerlukan model bumi yang sangat akurat, yang harus mencakup informasi akurat tentang posisi, struktur, dan kontras antarmuka lapisan.

^

Persyaratan ini dapat diatasi dengan mengambil juga fungsi Green G(xB,x,t) dalam persamaan (38) dengan metode Marchenko dan mengevaluasi integral untuk semua xB. Ini tidak dibahas lebih lanjut di sini. Metode alternatif yang tidak memerlukan informasi tentang antarmuka lapisan dibahas di bagian 3.3 hingga 3.5 dan diilustrasikan dengan contoh.

blank

blank

.

.

.

.

.

.

Gambar 9 Modifikasi Akustik pembalikan waktu dalam media berlapis. (a) Pendekatan klasik: emisi rekaman waktu terbalik dari S0 ke dalam medium. (b) Emisi bidang yang dimodifikasi, ditentukan oleh persamaan (36), ke dalam medium. Perhatikan fokus yang ditingkatka

.

.

2.3. Propagasi balik yang dimodifikasi

Kita merubah pendekatan untuk propagasi yang berbalik, dengan mengganti xa dan xb di persamaan (33) dan mengalikan kedua sisi dengan suber spektrum s(w) yang bernilai nyata, kita mendapatkan:

.p(xB, xA,ω)+p*(xB, xA,ω)=2R .S0 F(x,xB,ω)p(x, xA,ω)dx#(35).

 

Dengan p(xB, xA,ω)= G(x,xA,ω)s(ω) dan

.F(x,xB,ω)=2iωρ(x).. 3( f+1(x,xB,ω){f1 (x,xB,ω)})*#(36).

Perlu dicatat bahwa operator ( f+d(x,xB,ω) di persamaan (20) adalah sebuah estimasi dari dari operator F(x,xB,ω) di persamaan (36).

Penerima sumber pengolahan ulang data yang dimodifikasi

Kami modifikasi pendekatan untuk penerima sumber pengolahan ulang data, pertama pada persamaan (39) kami merubah S0 dengan S0, x dengan x S0, xA dengan x  S0 dan xB dengan xA, selanjutnya kamu menerapkan timbal balik penerimaan sumber dari kedua sisi persamaan, ini menghasilkan :

.p(xB, xA,ω)+p*(xB, xA,ω)=2R .S0 p(x,x,ω)F(x, xA,ω)dx#(37).

Dengan F(x, xA,ω) terdefinisi di persamaan (36) dengan 3 diganti dengan 3, sama dengan yang ada pada persamaan (22). Persamaan p(x,x,ω)= G(x,x,ω)s(ω) menggambarkan data di permukaan. Menurut aturan tangan kiri, respons sumber virtual ini diamati oleh penerima seharusnya pada x di permukaan.

2.4. Merubah penggambaran dengan pemfokusan ganda

Jika kita akan menerapkan pencitraan ke respons yang diambil p(xB, xA,ω)+p*(xB, xA,ω) dengan cara yang sama seperti pada persamaan (25), kita akan mendapatkan gambar dari sumber-sumber maya alih-alih refleksivitas. Mirip seperti di bagian 2.5 kita membutuhkan proses untuk mendapatkan respon yang terurai. p,+(xB, xA,ω) Titik awal kita adalah persamaan (31), yang kita tukarkan xA dan xB dan pilih keduanya di SA, seperti f1 (xB, xA,ω)=0, Menerapkan timbal balik penerima-sumber di sisi kiri dan mengalikan kedua sisi dengan spektrum sumber s(ω), kita mendapatkan :

.p,+(xB, xA,ω)= .So.F+(x , xB,ω) p,+ (x , xA,ω) dx#(38).

.

Dengan p,+ (x , xA,ω)= G,+ (x , xA,ω) s(ω) dan

  .F+(x,xB,ω)=2iωρ(x).. 3 f+1(x,xB,ω)#(39).

            

Selanjutnya di persamaan (31), mengganti S0 dengan S0 , x dengan x S0, xB dengan x  S0. Menerapkan penerima sumber-penerima di sisi kanan dan mengalikan kedua sisi dengan spektrum sumber s (ω), kita peroleh

.p