Komputasi Momen Geometrik Kartesian Cepat dan Tepat Menggunakan Teorema Green

Dapat kita ketahui bahwa momen geometrik kartesius telah banyak digunakan di dunia dalam analisis bentuk, pengenalan pola, deteksi tepi, dan analisis tekstur

$\begin{array}{c}{m}_{pq}=\underset{y}{\overset{}{\int }}\underset{x}{\overset{}{\int }}g(x,y)x^p{y}^{q}dxdy\#\left(1\right)\end{array}$

p dan q disini sebagai 2 bilangan integer positif. Integral ganda sering digantikan dengan penjumlahan ganda untuk gambar diskrit. Persamaannya dapat berubah menjadi berikut :

$\begin{array}{c}{m}_{pq}={\sum }_y{\sum }_{x}g\left(x,y\right)x^p{y}^q\#\left(2\right)\end{array}$

Dalam gambar biner, sering diasumsikan bahwa objek yang memiliki besarr piksel 1 dan piksel latar belakang bernilai 0 maka persamaan dapat dituliskan menjadi perikut :

$\begin{array}{c}{m}_{pq}={\sum }_{(x,y)}{\sum }_{ϵR}{x}^p{y}^q\#\left(3\right)\end{array}$

dimana R sendiri menunjukkan wilayah objek

Dalam penggunaannya orde 3 lebih sering digunakan. 10 orde rendah (p+q<3) dapat mewakili beberapa sifat geometris dasar benda seperti luas, pusat massa, radius rotasi, orietasi, bahkan kemiringan. Momen ini sendiri bahkan dapat dimanfaatkan untuk mendeskripsikan objek. Untuk menghitung momen dapat menggunakan persamaan kedua atau ketiga bahkan perlu dilakukan komputasi skala besar. Sedangkan untuk mengatasi nilai momen yang terlalu besar, baik integer kompleks atau float harus digunakan. Batas atas momen keteraturan sendiri telah dirumuskan oleh Sadjadi dan Hall.

$\begin{array}{c}{m}_{pq}\le g_{max}\left[\frac{N^{p+1}}{p+1}\right]\left[\frac{N^{q+1}-1}{q+1}\right]\#\left(4\right)\end{array}$

Integer kompleks yang digunakan dapat memperlambat komputasi karena terdapat batas penggunaan biaya komputasi penggunaan momen secara online dan aplikasi offline.

Sampai saat ini banyak algoritma yang telah dikembangkan untuk membantu percepatan komputasi momen dengan mengurangi redudansi komputer. Beberapa diantaranya berfungsi untuk gray level images, gambar biner, komputasi pararel atau implementasi optik.Hal yang mengejutkan adalah peningkatan komputasi ini juga dapat menggunakan versi diskrit dari Teorema Green. Tentunya untuk menghitung momen dan gambar biner. Telah dicatat dan dibuktikan bahwa penggunaan metode ini lebih cepat daripada metode sebelumnya.

Ada beberapa hal yang mempercepat perhitungan momen :

Mengenai Discrete Version of Green’s Theorem yang akan banyak dibahas di segmen selanjutnya. Teorema green menghubungkan integral garis pada kurva tertutup C terhadap integral rangkap pada daerah luasan R yang dibatasi oleh C. Misalkan, kurva C adalah sebuah fungsi piecewise, dan fungsi M(x,y) serta N(x,y) bersifat kontinyu dan memiliki turunan parsial orde satu pada R, maka dapat dinyatakan:

$\begin{array}{c}\underset{C}{\overset{}{\oint }}Mdx+Ndy=\underset{R}{\overset{}{\iint }}f\left(x,y\right)dA\#\left(5\right)\end{array}$

Dimana persamaan di sebelah kiri adalah integral garis sepanjang C dengan arah berlawanan jarum jam dan

$\begin{array}{c}f\left(x,y\right)=\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\#\left(6\right)\end{array}$

Aplikasi teorema green pada daerah diskrit adalah dengan mengubah integrasi pada persamaan (5) menjadi bentuk penjumlahan dengan pendekatan seabgai berikut:

$\begin{array}{c}{\sum }_C\left(M\Delta x+N\Delta y\right)\approx \sum {\sum }_{R}f\Delta x\Delta y\#\left(7\right)\end{array}$

Pendekatan tersebut digunakan oleh Li dan Shen untuk mengkomputasikan momen geometrik.

Selain pendekatan tersebut, terdapat pula beberapa versi pendekatan lainnya. Salah satunya adalah pendekatan versi Tang yang menyatakan bahwa batasan L pada objek diskrit R didefiniksan sebagai:

$\begin{array}{c}L=\left\{p\right|p\in R,\exists q\in N_4\left(p\right),q\notin R\}\#(8)\end{array}$

dimana $N_4\left(p\right)$ adalah set dari 4 bagian pixel p. Berikut adalah formula Tang:

$\begin{array}{c}\sum {\sum }_{R}f\left(x,y\right)={\sum }_L\left(F_x\left(x,y\right)D_{\gamma }\left(x,y\right)+f\left(x,y\right)C_{\gamma }\left(x,y\right)\right)\#\left(9\right)\end{array}$

dengan

$\begin{array}{c}{F}_x\left(x,y\right)={\sum }_{i-0}^{x}f\left(i,y\right)\#\left(10\right)\end{array}$

$D_{\gamma }\left(x,y\right)=\left\{\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ $C_{\gamma }\left(x,y\right)=\left\{\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

$\left(x-1,y\right)\in R,\left(x+1,y\right)\notin R$ $\left(x-1,y\right)\notin R,\left(x+1,y\right)\in R$ $lainnya$ $\left(x-1,y\right)\notin R$ $lainnya$

Sedangkan pada versi Philip menyatakan bahwa batasan objek R didefinisikan sebagai berikut:

$\begin{array}{c}\sum {\sum }_R{\nabla }_{x}f\left(x,y\right)={\sum }_{\partial R^{+}}f\left(x,y\right)-{\sum }_{\partial R^{-}}f\left(x,y\right)\#\left(11\right)\end{array}$

Dengan

$\partial R^{+}=\left\{\left(x,y\right)\right|\left(x,y\right)\in R,\left(x+1,y\right)\notin R\}$

$\partial R^{-}=\left\{\left(x,y\right)\right|\left(x,y\right)\notin R,\left(x+1,y\right)\in R\}$

$\partial R=\partial R^{+}\cup \partial R^{-}$

${\nabla }_{x}f\left(x,y\right)=f\left(x,y\right)-f\left(x-1,y\right)$

Teorema green berkaitan dengan contour following algorithm. Semua titik pada batasan akan dilalui oleh bug konseptual. Bug contour following sederhana seharusnya untuk 4 daerah terhubung dan backtracking contour following seharusnya untuk 8 daerah terhubung. Selama bug contour following sederhana, bug akan mengarah ke kanan ketika pada background dan akan mengarah ke kiri ketika pada objek seperti yang diilustraikan pada Gambar 1. Pada backtracking contour following, bug akan mengrah ke kanan ketika pada background dan akan kembali ke titik sebelumnya ketika pada objek seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.

.

Asumsikan bahwa pixel berbentuk persegi. Contour following akan mendeteksi urutan ujung pixel. Transisi dari background ke objek dirujuk dari perpindahan bug melintasi ujung pixel. Transisi yang terjadi memiliki 4 kemungkinan arah yaitu 0, 1, 2, dan 3 seperti pada Gambar 3.

.

.

.

.

.

Dengan menggunakan contour following dan konsep transisi, Teorema green diskrit dapat dinyatakan:

$\begin{array}{c}\sum {\sum }_{R}f\left(x,y\right)={\sum }_T{F}_x\left(x,y\right)\Delta y\#\left(12\right)\end{array}$

Dengan $F_x\left(x,y\right)$ didefinisikan oleh persamaan (10). Apabila $F_y\left(x,y\right)={\sum }_{i=0}^{y}f(x,i)$ maka akan diperoleh persamaan yang serupa:

$\begin{array}{c}\sum {\sum }_{R}f\left(x,y\right)={\sum }_T{F}_y\left(x,y\right)\Delta x\#\left(13\right)\end{array}$

.

Dengan menggunakan pendekatan seperti pada sub-bab sebelumnya, maka Li dan Shen membuat algoritma cepat untuk mengkomputasi momen biner suatu objek yang didefinisikan oleh persamaan dengan rumus sebagai berikut:

$\begin{array}{c}{m}_{pq}=\frac{1}{p+1}{\sum }_L{x}^{p+1}{y}^q\Delta y\#\left(14\right)\end{array}$

Dengan L adalah batasan yang sama dengan hasil pendefinisian Tang dan $\Delta y$ adalah perbedaan dari korrdinat y dari titik (x,y) dan titik yang diikuti pada Batasan L.

Kemudian Philip mengembangkan keakurasiannya dengan menggunakan versi diskrit teorema green seperti pada persamaan (11). Dengan mensubstitusikan $f\left(x,y\right)=y^q{\sum }_{i=0}^x{i}^p$ ke persamaan (11) maka diperoleh rumus:

$\begin{array}{c}{m}_{pq}={\sum }_{\partial R^{+}}{S}_p\left(x\right)y^q-{\sum }_{\partial R^{-}}{S}_p\left(x\right)y^q\#\left(15\right)\end{array}$

Dimana

$\begin{array}{c}{S}_p\left(x\right)=\left(x+1\right){\sum }_{j=0}^p\frac{{{[S}^{-1}]}_{pj}}{j+1}{\sum }_{v=0}^j{\left[S\right]}_{jv}{x}^v\#\left(16\right)\end{array}$

Philip kemudian mengevaluasi persamaan (15) dengan mengakumulasikan $S_p\left(x\right)y^q$ pada setiap titik batas. Namun metode ini kurang efisien dibandingkan dengan metode Li-Shen karena membutuhkan komputasi floating point dan juga membutuhkan mononomial yang lebih banyak.

Dengan mensubstitusikan $f\left(x,y\right)=x^p{y}^q$ pada persamaan (12), maka:

$\begin{array}{c}{m}_{pq}={\sum }_T{\sum }_{i=0}^x{i}^p{y}^q\Delta y={\sum }_T\left(\frac{x^{p+1}{y}^q}{p+1}+\frac{x^p{y}^q}{2}+{\sum }_{j=2}^p\frac{1}{j}{C}_p^{j-1}{B}_j{x}^{p-j+1}{y}^q\right)\Delta y\#\left(17\right)\end{array}$

Dimana $C_p^{j-1}$ adalah koefisien binomial yang dapat dinyatakan sebagai:

$\begin{array}{c}{C}_p^k=\frac{p!}{k!\left(p-k\right)!}\#\left(18\right)\end{array}$

Dan $B_j$ adalah angka Bernaoullik e-j. untuk $0\le j\le 6$, angka Bernoullinya adalah 1, -½, 1/6, 0, -1/30, 0, dan 1/42. Apabila:

$\begin{array}{c}{u}_{ij}={\sum }_T{x}^{i+1}{y}^j\Delta y\#\left(19\right)\end{array}$

Maka persamaan (17) akan menjadi:

$\begin{array}{c}{m}_{pq}=\frac{u_{pq}}{p+1}+\frac{u_{p-1,q}}{2}+{\sum }_{j=2}^p\frac{1}{j}{C}_p^{j-1}{B}_j{u}_{p-j,q}\#\left(20\right)\end{array}$

$m_{pq}$ adalah kombinasi linier dari $u_{jq}$ untuk $j=0$ sampai dengan p. 10 momen urutan rendah dapat dikomputasikan sebagai berikut:

$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{m}_{0q}\\ m_{1q}\\ m_{2q}\end{array}\\ m_{3q}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1/2\\ 1/6\end{array}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 1/2\\ 1/2\end{array}\\ 1/4\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1/3\end{array}\\ 1/2\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\\ 1/4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{u}_{0q}\\ u_{1q}\\ u_{2q}\end{array}\\ u_{3q}\end{array}\right]$

Untuk mengefisiensikan persamaan tersebut maka pada koordinat y diatur transisi T(y) untuk nilai y:

$\begin{array}{c}T\left(y\right)=\left\{\left(x,y^{‘},\Delta x,\Delta y\right)\right|\left(x,y^{‘},\Delta x,\Delta y\right)\in T,y^{‘}=y\}\#(21)\end{array}$

Dengan

$\begin{array}{c}{v}_i\left(y\right)={\sum }_{T\left(y\right)}{x}^{i+1}\Delta y\#\left(22\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{u}_{ij}={\sum }_y{v}_i\left(y\right)y^j\#\left(23\right)\end{array}$

$u_{ij}$ adalah momen ke-j dari sinyal 1-D $v_i\left(y\right)$. Algoritma cepat yang dapat mengkomputasikan sinyal tersebut kemudian disebut sebagai Hatamian. Anggap bahwa $v_i^0\left(y\right)$ adalah hasil dari Hatamian filetring dari $v_i\left(y\right)$ sehingga:

$\begin{array}{c}{v}_i^0\left(y\right)={\sum }_{k=N}^y{v}_i\left(k\right)\#\left(24\right)\end{array}$

Dengan mengaplikasikan filter Hatamian, dapat diperoleh:

$\begin{array}{c}{v}_i^j\left(y\right)={\sum }_{k=N}^y{v}_i^{j-1}\left(k\right)\#\left(25\right)\end{array}$

Momen 1-D $u_{ij}$ adalah kombinasi linier dari $v_i^j\left(1\right).$ Untuk $j\le 3$ didapatkan:

.

$\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{u}_{i0}\\ u_{i1}\\ u_{i2}\end{array}\\ u_{i3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\\ 1\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\\ -6\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\\ 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{v}_i^0\left(1\right)\\ v_i^1\left(1\right)\\ v_i^2\left(1\right)\end{array}\\ v_i^3\left(1\right)\end{array}\right]$

Hataiman menggunakan algoritma cepat untuk menghitung momen gray level images yang ditentukan oleh persamaan (2). Terkadang kita tidak perlu menghitung seluruh momen gambar, kita bisa membaginya dengan segmen segmen kecil lalu menghitungnya. Dalam analisis tekstur, seseorang mungkin perlu melakukannya untuk menghitung banyak momen texel dan mendeskripsikan sifat geometris setiap texel.

Momen geometris kartesius dari gray level region R didefinisakan sebagai

$m_{pq}=\sum \sum _{R}g\left(x,y\right)x^p{y}^q\left(26\right)$

Untuk menghitungn persamaan tersebut terdapat metode yang lebih cepat,yaitu dengan menggunakan versi diskrit teorema green. Mensubsituskan $f\left(x,y\right)=g(x,y)x^p{y}^q$ ke dalam persamaan (12). Sehingga didapat

$m_{pq}=\sum _T\sum _{k=0}^{x}g(k,y)k^p{y}^q\Delta y\left(27\right)$

$G^p\left(x,y\right)=\sum _{k=0}^{x}g(k,y)k^p\left(28\right)$

Dan persamaan (27) akan menjadi

$m_{pq}={\sum }_T{G}^p(x,y)y^q\Delta y\left(29\right)$

$v_p\left(y\right)=\sum _{T\left(y\right)}{G}^p(x,y)\Delta y\left(30\right)$

dimana $T\left(y\right)$ adalah transisi pada garis $l\left(y\right)$ yang didefinisikan oleh persamaan (21). Sehingga kita mendapatkan

$m_{pq}=\sum _y{v}_p\left(y\right)y^q\left(31\right)$

Kita dapat melihat bahwa momen $m_{pq}$ dapat dihitung sebagai sinyal dari $v_p\left(y\right)$. Langkah langkah pada metode yang kami gunakan untuk menghitung persamaan (26) adalah sebagai berikut.

Pertama kita menghitung $G^p(x,y)$ dari $g(x.y)$ lalu terapkan mengikuti kontur. Untuk setiap transisi, nilai $v_p\left(y\right)$ yang ditentukan dari hasil persamaan (30). Kemudian kami menerapkan pemfilteran Hataiman pada $v_p\left(y\right)$ dan didapatkan $v_p^j\left(y\right)$ untuk $j=0,\dots \dots \dots ,q$. Kemudian momen $m_{pq}$ merupakan kombinasi linear dari $v_p^j$.

Untuk menghitung momen orde rendah 10, kita perlu menghitung $G^i(x,y)$ untuk $i=0,1,2,3.$ Ini membutuhkan penjumlahan $4N^2$ dan perkalian $3N^2$. Jika diinginkan, perkalian ini dapat diubah menjadi pertambahan dengan menerapkan pembaharuan Li dan Shang. Untuk menghitung $v_i\left(y\right)$ kita membutuhkan empat penambahan untuk setiap T₁ dan T₃ transisi. Pemfilteran Hataiman dari $v_i\left(y\right)$ membutuhkan penambahan 10N. dengan demikian metode ini lebih efisien daripada metode langsung yang membutuhkan penambahan $10N^2$ dan perkalian $9N^2$.

Jika momen yang akan dihitung adalah lebih dari satu wilayah dalam gambar, maka nilai $G^i(x,y)$ dapat dihitung hanya sekali. Setelah itu hanya penambahan 10N + 8S yang diperlukan untuk setiap wilayah dimana S adalah jumlah segmen garis dari wilayah tersebut. Dengan demikian, kita akan mendapat lebih banyak keunggulan perhitungan jika ada lebih banyak wilayah.

.

Dalam eksperimen yang dilakukan, metode baru yang dirancang oleh penulis digunakan untuk menghitung invariansi momen Hu dan juga digunakan untuk menghitung bentuk berdasar momen dengan menggunakan gunakan 3 gambar uji dimana gambar yang diuji adalah bentuk yang komplek atau kecil. Ketiga gambar yang digunakan untuk eksperimentasi ini dapat dilihat dari Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6 dimana Gambar 4 dan Gambar 5 digunakan sebagai objek berukuran kecil dan Gambar 6 sebagai objek kompleks.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dalam eksperimen ini, metode baru yang dibandingkan dengan metode dari Li dan Shen. Dalam metode Li dan Shen, terdapat 7 kombinasi dari momen central telah dinormalisasi dengan orde 2 dan 3, invarian ke translasi, serta rotasi dan perubahan ukuran. Ke 7 kombinasi ini dinyatakan dalam persamaan:

.

${\varphi }_1={\eta }_{20}+{\eta }_{02}$

${\varphi }_2={({\eta }_{20}+{\eta }_{02})}^2+{4\eta }_{11}^2$

${\varphi }_3={({\eta }_{30}-{3\eta }_{12})}^2+{({3\eta }_{21}-{\eta }_{03})}^2$

${\varphi }_4={({\eta }_{30}+{\eta }_{12})}^2+{({\eta }_{21}+{\eta }_{03})}^2$

${\varphi }_5=\left({\eta }_{30}-{3\eta }_{12}\right)\left({\eta }_{30}+{\eta }_{12}\right)\left[{\left({\eta }_{30}-{3\eta }_{12}\right)}^2-{3\left({\eta }_{21}+{\eta }_{03}\right)}^2\right]{\varphi }_5=+({3\eta }_{21}-{\eta }_{03})({\eta }_{21}+{\eta }_{03})\left[{3\left({\eta }_{30}+{\eta }_{12}\right)}^2-{({\eta }_{21}+{\eta }_{03})}^2\right]$

${\varphi }_6=\left({\eta }_{20}+{\eta }_{02}\right)\left[{\left({\eta }_{30}+{\eta }_{12}\right)}^2-{\left({\eta }_{21}+{\eta }_{03}\right)}^2\right]+{4\eta }_{11}\left({\eta }_{30}-{\eta }_{12}\right)\left({\eta }_{21}+{\eta }_{03}\right)$

${\varphi }_7=\left({3\eta }_{21}-{\eta }_{03}\right)\left({\eta }_{30}-{\eta }_{12}\right)\left[{\left({\eta }_{30}+{\eta }_{12}\right)}^2-{3\left({\eta }_{21}+{\eta }_{03}\right)}^2\right]+\left({3\eta }_{12}-{\eta }_{30}\right)$

${\varphi }_7=({\eta }_{21}+{\eta }_{03})\left[{3\left({\eta }_{30}+{\eta }_{12}\right)}^2-{({\eta }_{21}+{\eta }_{03})}^2\right]=$

.

Hasil dari metode baru ini kemudian dibandingkan dengan metode dari Li dan Shen ketika objek diputar searah jarum jam dari titik tengahnya dengan sudut 0 sampai 90 derajat dengan beberapa hasilnya ditampilkan dalam Gambar 7, Gambar 8, dan Gambar 9 dengan garis lurus berupa hasil dari metode baru sedangkan garis putus-putus merupakan hasil dari Li dan Shen

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Dari grafik yang dihasilkan, dapat dilihat bahwa dengan metode baru, momen invarian dari metode baru lebih stabil dibandingkan dengan metode dari Li dan Shen.

Eksperimentasi kemudian dilanjutkan dengan menghitung orientasi dari objek dengan persamaan

$\hat{\theta }=\frac{1}{2}{tan}^{-1}\left[\frac{2\mu 11}{\mu 20-\mu 02}\right]$

Orientasi dari gambar pesawat kemudian dihitung dengan 2 metode yang dapat dilihat dari Gambar 10.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ketika gambar pesawat diputar terhadap titik tengahnya, radius perputarannya juga dihitung dan dibandingkan antara kedua metode yang hasilnya dapat dilihat dari

.

.

.

.

.

.

.

.

Dari galat dan juga radius perputaran dari gambar pesawat dapat dilihat bahwa dengan metode baru ini memberikan hasil yang lebih stabil dibandingkan dengan metode Li dan Shen.

.

Momen Kartesian geometrik menjadi hal yang penting dalam analisa gambar. Walau demikian, sejumlah besar perhitungan diperlukan untuk menghitung momen geometri. Banyak algoritma telah dirumuskan untuk mempercepat perhitungan. Metode delta cocok digunakan untuk objek biner yang digambarkan pada garis y, metode corner point bekerja dengan baik pada objek biner yang digambarkan oleh pendekatan polinom, dan metode yang didasarkan pada teorema Green dirancang untuk menghitung momen suatu objek yang digambarkan oleh gambar biner.

Berdasar pada kontur gambar serta teorema Green, Li dan Shen mengusulkan metode perhitungan yang cepat, namun tidak cukup akurat karena didasarkan pada pendekatan teorema Green. Berdasarkan teorema Green diskrit, peneliti mengusulkan metode baru yang hasilnya lebih eksak dan se-efisien metode Li dan Shen.

Dibawah ini adalah tabel perbandingan kompleksitas beberapa metode dalam perhitungan momen geometrik :

Metode	Pengalian	Penambahan
Langsung	7 N2	10 N2
Philip	18 N	24 N
Li dan Shen	18 N	20 N
New	6 N	18 N

.

Catatan : N adalah segmen garis, yang digambarkan pada gambar biner berukuran N x N

Momen telah digunakan secara luas sebagai penganalisa bentuk dan pengenalan pola, serta pencarian berapa banyak teknik yang diturunkan dari momen geometrik Kartesian untuk pembedahan dan pengenalan objek.

Kombinasi tujuh momen oleh Hu (nama peneliti) adalah bentuk kombinasi non-linear dari momen ordo-rendah kartesius-dua dimensi. Hu juga menemukan empat momen yang merupakan variasi dibawah transformasi linear umum. Kemudian, eror yang ada pada empat momen ini diperbaiki oleh Reiss. Banyak peneliti yang menggunakan momen Hu untuk menganalisa bentuk-bentuk yang ada di kehidupan. Akurasi dari tujuh momen rumusan Hu sering diuji dan dibuktikan ketepatannya menggunakan metode integral. Dari beberapa penelitian tersebut, diketahuilah bahwa tujuh momen Hu ini tidak terlalu baik untuk menganalisa perputaran gambar dan perubahan skala.

Kemudian Li dan Shen membuat metode baru yang mampu mengatasi masalah tersebut, walau ada kekurangan di sisi ketidakakuratan untuk perhitungan objek kecil dan kompleks.

Peneliti kemudian berhasil memperbaiki kekurangan metode Li dan Shen. Walau begitu, masih ada kekurangan yaitu pada banyaknya metode yang bisa digunakan untuk menghitung momen tengah ordo-kedua. Momen memainkan peran penting dalam berbagai analisis bentuk. Momen orde-nol adalah total massa dari objek atau wilayah gambar biner. Momen orde-pertama digunakan untuk mencari pusat massa. Momen order-kedua berhubungan dengan beberapa kemampuan bentuk seperti objek elips, orientasi, dan radius kisaran.

Ada beberapa sumber eror dalam aplikasi lapangan dari momen, termasuk noise, distorsi, sampling, dan diskretisasi data. Efek dari masing-masing eror tersebut akan semakin bertambah sejalan dengan peningkatan ordo momen.

Momen Kartesian geometrik sering digunakan pada analisi struktur tekstur. Momen dari gray level regions akan lebih berguna dalam aplikasi ini. Dalam beberapa kasus deskripsi tektur struktural, terdapat texture primitive (texels). Texel diumpamakan sebagai objek kecil, sehingga metode khusus akan lebih baik digunakan dalam analisa.

Pendekatan ini juga akan menguntungkan dari hal penanganan gray level image, yang hanya menghitung nilai dari G^i (x,y) sekali saja. Kemudian hanya diperlukan penambahan 10N + 8S untuk setiap satu wilayah. Jadi, perhitungan akan lebih menguntungkan apabila ada banyak segmen wilayah.

Perlu dicatat bahwa filter adaptif noise sering digunakan untuk meningkatkan klasifikasi tekstur yang benar. Jadi, pendekatan yang telah dijelaskan diatas juga membuka kemungkinan kerja bersamaan antara filter pengawet dan analisa tekstur.

.

Momen kartesian geometris merupakan alat yang penting dalam banyak tugas analisis gambar. Tetapi terdapat suatu kendala yaitu pada kecepatan perhitungan yang lambat. Untuk mengatasinya dapat digunakan teorema green yang dapat mengevaluasi integral ganda pada suatu daerah sebagai suatu integral sepanjang batas wilayah.

Metode Li dan Shen menggunakan pendekatan teorema green, tetapi hasil perhitungannya akan kurang tepat pada benda kecil atau kompleks. Philips mengusulkan metode dengan perhitungan yang tepat tetapi tidak seefisien metode Lin dan Shen.

Metode yang kami gunakan dapt secepat metode Li dan Shen dan memiliki hasil yang tepat. Metode ini ditingkatkan berdasarkan pada versi baru dari teorema green diskrit. Metode ini sangat efisien saat momen akan dihitung di sejumlah wilayah sebuah gambar. Oleh karena itu, metode ini sangat berguna dalam struktur analisis.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

DAFTAR PUSTAKA

.

Albregtsen. F & Yang. L. (1995). Fast and Exact Computation of Cartesian Geometric

  Moments Using Discrete Green’s Theorem. Pattern Recognition, Vol. 29, No. 7,

  pp. 1061-1073, 1996.