Memahami Metode Runge-Kutta dalam Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa secara Metode Numerik

Persamaan diferensial biasa (ODE) adalah alat matematis yang digunakan untuk menggambarkan perubahan suatu variabel terhadap waktu. Namun, tidak semua persamaan diferensial bisa dipecahkan dengan mudah atau secara analitis. Oleh karena itu, metode numerik, seperti metode Runge-Kutta, menjadi penting dalam menyelesaikan persamaan diferensial biasa secara efisien.

Sejarah Metode Runge-Kutta

Nama “Runge-Kutta” merujuk pada dua matematikawan Jerman yakni Carl David Tolmé Runge dan Martin Wilhelm Kutta. Beliau berdua berkontribusi pada pengembangan metode ini pada akhir abad ke-19.

1. Carl David Tolmé Runge (1856–1927):Runge lahir pada 30 Agustus 1856, di Bremerhaven, Jerman. Pada tahun 1895, Runge menerbitkan karyanya yang penting berjudul “Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen” (Tentang Pemecahan Numerik Persamaan Diferensial). Dalam karyanya ini, dia memperkenalkan metode yang kini dikenal sebagai metode Runge-Kutta.Runge mencoba meningkatkan penerapan metode numerik yang sudah ada pada masanya dengan mengusulkan pendekatan berbasis iteratif untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Kontribusinya membuka jalan bagi pengembangan metode yang lebih canggih yang kemudian berkembang menjadi apa yang sekarang kita kenal sebagai metode Runge-Kutta.
2. Martin Wilhelm Kutta (1867–1944):Kutta, seorang matematikawan Jerman yang lahir pada 3 Februari 1867, di Poznań, Polandia (saat itu bagian dari Kekaisaran Jerman). Kutta memberikan kontribusi penting dalam mengembangkan metode Runge-Kutta melalui penelitiannya pada awal abad ke-20. Pada tahun 1901, Kutta menerbitkan makalahnya yang berjudul “Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen” (Kontribusi untuk Integrasi Pendekatan Persamaan Diferensial Total).Dalam makalahnya, Kutta memperkenalkan formulasi yang sekarang dikenal sebagai metode Runge-Kutta orde-4, yang merupakan versi paling terkenal dan paling sering digunakan dari metode Runge-Kutta. Formulasi ini memiliki tingkat akurasi yang baik dan menjadi dasar bagi banyak aplikasi praktis.
3. Pengembangan Lanjutan:Setelah kontribusi awal Runge dan Kutta, metode Runge-Kutta terus berkembang dan diperbaiki oleh berbagai matematikawan dan ilmuwan. Penelitian dan pengembangan lebih lanjut ini bertujuan untuk meningkatkan akurasi, stabilitas, dan efisiensi metode.Metode Runge-Kutta kini menjadi salah satu metode numerik paling umum yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dalam berbagai bidang. Adapun penerapannya termasuk fisika, rekayasa, biologi, dan banyak lagi. Keberhasilan dan popularitas metode ini sebagian besar berkat dedikasi dan kontribusi Runge dan Kutta pada awal abad ke-20.

Kapan menggunakan metode Runge-Kutta?

Sebelum kita membahas lebih lanjut terkait metode Runge-Kutta, perlu kita definisikan terlebih dahulu pengertian dari persamaan diferensial biasa. Apa itu Persamaan Diferensial Biasa (iOrdinary Differential Equation, ODE)? Persamaan diferensial biasa adalah persamaan matematika yang mengandung turunan dari suatu fungsi tak diketahui terhadap satu atau lebih variabel independen. Umumnya, ODE dapat ditulis sebagai: F(t, y, y’, y”, …) = 0 di mana (y) adalah fungsi yang kita cari atau disebut variabel dependent atau terikat, (t) adalah variabel independen atau bebas, dan (y’, y”, …) adalah turunan fungsi (y) terhadap (t) pada turnan pertama (y’), turunan kedua (y”), dst.

Dalam praktiknya, banyak persamaan diferensial tidak dapat diselesaikan secara analitis menggunakan teknik kalkulus. Itulah mengapa metode numerik diperlukan. Metode numerik mentransformasi persamaan diferensial menjadi serangkaian perhitungan matematis yang hanya melibatkan plus, minus, kali, dan bagi yang dapat dipecahkan menggunakan komputer.

Pengertian metode Runge-Kutta

Metode Runge-Kutta memecah interval waktu ke dalam langkah-langkah kecil dan menghitung nilai fungsi yang tidak diketahui pada setiap langkah tersebut dan hal ini terus dilakukan secara iteratif hingga nilai batas akhir atau titik waktu yang diinginkan tercapai. Metode ini memiliki ketelitian yang tinggi dan fleksibel untuk berbagai jenis persamaan diferensial dibandingkan metode lainnya seperti metode Euler, metode Heun, atau metode Deret Taylor.

Keunggulan Metode Runge-Kutta:

1. Ketelitian Tinggi: Metode Runge-Kutta, khususnya varian orde tinggi seperti orde-4, menawarkan tingkat ketelitian yang tinggi. Hal ini menjadikannya lebih akurat dibandingkan dengan beberapa metode numerik lainnya, terutama pada persamaan diferensial yang kompleks.
2. Fleksibilitas untuk Jenis Persamaan: Metode Runge-Kutta dapat digunakan untuk berbagai jenis persamaan diferensial, termasuk persamaan diferensial biasa linier dan nonlinier. Karena keunikan formulasi iteratifnya, metode ini dapat diaplikasikan dengan efisien pada berbagai persoalan ilmiah dan teknis.
3. Kemampuan Menangani Persamaan Nonlinier: Metode ini terkenal karena kemampuannya menangani persamaan diferensial nonlinier dengan baik. Pendekatan iteratifnya memungkinkan penanganan solusi yang lebih kompleks dan realistis.
4. Penggunaan yang Luas: Metode ini umum digunakan dalam berbagai bidang, seperti fisika, biologi, dan rekayasa.

Penerapan Metode Runge-Kutta

Langkah-langkah umum dalam penerapan metode Runge-Kutta adalah sebagai berikut:

Code Python dari Metode Runge-Kutta

Berikut adalah code python dari metode Runge-Kutta orde 4 dy/dx =−2y dengan kondisi awal
y(0)=1.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def runge_kutta_order_4(f, y0, t0, tn, h):
    # Implementasi metode Runge-Kutta orde-4 (sama seperti sebelumnya)
    num_steps = int((tn - t0) / h) + 1
    T = np.linspace(t0, tn, num_steps)
    Y = np.zeros(num_steps)
    
    Y[0] = y0
    for i in range(1, num_steps):
        k1 = h * f(T[i-1], Y[i-1])
        k2 = h * f(T[i-1] + h/2, Y[i-1] + k1/2)
        k3 = h * f(T[i-1] + h/2, Y[i-1] + k2/2)
        k4 = h * f(T[i-1] + h, Y[i-1] + k3)
        
        Y[i] = Y[i-1] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6
    
    return T, Y

def exact_solution(t):
    # Fungsi solusi eksak untuk persamaan diferensial yang diberikan
    return np.exp(-2 * t)

# Persamaan diferensial: dy/dt = -2y
def f(t, y):
    return -2 * y

# Kondisi awal
y0 = 1.0
t0 = 0.0
tn = 5.0
h = 0.1

# Menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan metode Runge-Kutta orde-4
T, Y = runge_kutta_order_4(f, y0, t0, tn, h)

# Menghitung solusi eksak pada titik waktu yang sama
Y_exact = exact_solution(T)

# Plot hasil numerik
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(T, Y, label='Metode Runge-Kutta orde-4 (Numerik)')
plt.xlabel('Waktu (t)')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Metode Numerik')
plt.legend()

# Plot hasil eksak
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(T, Y_exact, label='Solusi Eksak')
plt.xlabel('Waktu (t)')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Solusi Eksak')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

Hasilnya adalah sebagai berikut:

Referensi

Ada beberapa buku referensi yang sangat baik yang membahas metode Runge-Kutta dan topik terkait dalam konteks metode numerik dan persamaan diferensial biasa (ODE). Berikut adalah beberapa buku yang bisa menjadi referensi yang berguna:

1. “Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing” by William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery:
   • Buku ini menyediakan panduan komprehensif untuk berbagai metode numerik, termasuk metode Runge-Kutta. Cocok untuk pembaca dengan latar belakang ilmiah dan teknis.
2. “Numerical Analysis” by Richard L. Burden, J. Douglas Faires:
   • Buku ini menyajikan dasar-dasar analisis numerik dan mencakup berbagai topik, termasuk metode Runge-Kutta. Cocok untuk mahasiswa matematika dan ilmu komputer.
3. “Differential Equations with Boundary-Value Problems” by Dennis G. Zill, Warren S. Wright:
   • Buku ini fokus pada persamaan diferensial dan memberikan penekanan pada solusi numerik, termasuk metode Runge-Kutta. Cocok untuk mahasiswa dan profesional yang mempelajari persamaan diferensial.
4. “Introduction to Numerical Analysis” by J. Stoer, R. Bulirsch:
   • Buku ini memberikan pengantar yang baik ke analisis numerik, dan mencakup metode Runge-Kutta serta berbagai metode numerik lainnya.
5. “Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems” by Ernst Hairer, Gerhard Wanner:
   • Buku ini fokus pada metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa, termasuk metode Runge-Kutta. Cocok untuk pembaca yang ingin mendalami topik ini secara mendalam.