Mengenal Fungsi: Konsep Dasar, Kelompok Fungsi, dan Operasinya [Disertai dengan Contoh Soal]

Materi fungsi sebetulnya sangat berkaitan dengan relasi. Lalu, apa yang membedakan antara relasi dan fungsi? Sebagai pengantar untuk memahami perbedaannya, coba kita perhatikan ilustrasi relasi-relasi berikut.

Jika kita uraikan relasi-relasi di atas, maka akan kita dapatkan,

Relasi (a):

• setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan dengan anggota himpunan B
• setiap anggota himpunan A punya pasangan tunggal dengan anggota himpunan B

Relasi (b):

• tiap anggota himpunan A mempunyai pasangan dengan anggota himpunan B
• ada anggota himpunan B yang berpasangan dengan dua anggota himpunan A
• ada anggota himpunan B yang tidak berpasangan dengan anggota himpunan A

Relasi (c):

• setiap anggota himpunan A berpasangan dengan anggota himpunan B
• ada anggota himpunan A yang mempunyai pasangan dengan dua anggota himpunan B
• ada anggota himpunan B yang berpasangan juga dengan dua anggota himpunan A

Relasi (d):

• ada anggota himpunan A yang tidak berpasangan dengan anggota himpunan B

Nah, dari ilustrasi di atas, kita bisa lihat bahwa relasi (a) dan relasi (b) merupakan fungsi, sebab:

• semua anggota himpunan A punya pasangan dengan anggota himpunan B,
• semua anggota himpunan A berpasangan tunggal dengan anggota himpunan B.

Di sisi lain, relasi (c) dan relasi (d) bukanlah fungsi. Sebab, pada relasi (c) ada anggota himpunan A yang berpasangan tidak tunggal dengan anggota himpunan B, yaitu iv yang berpasangan dengan 4 dan 5. Pada relasi (d) ada anggota himpunan A yang tidak berpasangan dengan anggota himpunan B, yaitu iv.

So, kebayang ‘kan gimana gambaran konsep fungsi itu? Untuk lebih jelasnya coba kita buat lebih sederhana. Misalkan kita berikan dua himpunan A dan B. Anggota dari kedua himpunan tersebut kemudian berpasangan (memiliki relasi). Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B merupakan aturan pengaitan yang menghubungkan semua anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Di sini kita bisa lihat anggota himpunan A sebagai input (masukan) dan anggota himpunan B sebagai output (luaran). Contohnya gini. Volume kubus ditentukan oleh panjang tiap sisi. Dengan demikian, volume kubus (output) adalah fungsi dari panjang sisi kubus (input). Lama durasi waktu bola yang melambung di udara ditentukan oleh kecepatan lemparannya, sehingga kecepatan lemparan bola di udara ialah fungsi dari lamanya lemparan bola tersebut.

Secara simbolik, ilustrasi dan contoh di atas bisa kita tulis sebagai f : A→B, fungsi f memetakan semua anggota himpunan A ke satu anggota himpunan B secara tepat. Artinya, f memetakan anggota himpunan A, yaitu x, ke suatu anggota himpunan B, yaitu y. Peta tersebut dinyatakan dengan notasi f(x). Oleh karenanya, notasi di atas dapat lebih lanjut ditulis sebagai f : x → y, fungsi f memetakan x ke y, sedemikian rupa sehingga y = f(x).

Ketika kita menyebut input sebagai x dan output sebagai y, x berperan sebagai variabel bebas (independent variable), sedangkan y sebagai variabel terikat (dependent variable). Disebut terikat karena y bergantung pada x.

Anggap terdapat fungsi f. dengan domain-nya adalah setiap bilangan riil sebagai input. Aturan pengaitannya adalah mengkuadratkan input. Misalkan input-nya adalah x = 3. Output-nya berarti 3² = 9. Contoh demikian kita notasikan sebagai y = f(x), y sebagai fungsi dari x. Dalam hal pengkuadratan tadi, berarti fungsi f(x) adalah f(x) = x². (catatan: suatu relasi juga dikatakan sebagai suatu fungsi jika fungsi tersebut memetakan dua input yang berbeda ke output yang sama. Contohnya fungsi f(x) = x² tadi. Bilangan 2 dan -2, yang keduanya merupakan input, akan menghasilkan nilai 4 sebagai output).

Kelompok Dasar Fungsi
Beberapa jenis fungsi yang umum digunakan adalah sebagai berikut (catatan: di sini hanya disajikan beberapa jenis fungsi saja).

1. Fungsi Linear
Fungsi ini merupakan fungsi termudah dan paling sederhana di antara banyak fungsi lainnya. Bentuk persamaan umumnya y = ax + b, dengan a dan b adalah konstanta, yang masing-masing bisa bernilai positif, negatif, atau 0. Konstanta b menunjukkan titik interception (perpotongan) antara fungsi linear dengan sumbu y. Dikarenakan fungsi ini berupa garis lurus, konstanta a menunjukkan tingkat kemiringan garis fungsi tersebut.

Ketika nilai a sama dengan 0, maka garisnya akan datar sejajar dengan sumbu x seperti pada fungsi g(x). Berbeda halnya dengan fungsi f(x) dan h(x) yang menunjukkan kedua fungsi garis lurusnya miring. Perhatikan kembali kedua fungsi f(x) dan h(x) di atas, dan amati perbedaan nilai konstanta a yang memengaruhi kemiringan keduanya. Fungsi ini banyak diaplikasikan dalam bidang sains dan teknik, bahkan dalam kehidupan sehari-hari. Di antaranya adalah konversi suhu dari derajat Celcius menjadi derajat Fahrenheit.

2. Fungsi Polinomial
Contoh yang kita sajikan sebelumnya (fungsi f(x) = x²) merupakan fungsi polinomial. Bentuk umum persamaan fungsi ini adalah sebagai berikut.
f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + a_n-3x^n-3 + … + a₁x + a₀
untuk n adalah bilangan positif, dengan a₀x ≠ 0. Nilai n menjadi parameter derajat polynomial. Jika n sama dengan 1, ia akan menjadi fungsi linear. Jika n sama dengan 2, fungsinya menjadi fungsi kuadrat yang bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
f(x) = ax² + bx + c
Bila merujuk pada contoh fungsi sebelumnya f(x) = x², maka fungsi tersebut merupakan fungsi kuadrat, dengan a = 1; b = 0; dan c = 0. Penerapan fungsi kuadrat banyak digunakan di banyak bidang kehidupan, termasuk dalam kehidupan sehari-hari. Sesederhana kita main basket bersama teman ketika hendak memasukkan bola basket ke keranjang. Hehehe… Oh iya, bila n sama dengan 3, fungsi tersebut menjadi fungsi kubik. Begitu seterusnya.

Perhatikan gambar 4 di atas. Pada gambar 5 (a), fungsi dinamakan fungsi genap karena derajat polinomialnya berbilangan genap. Fungsi ini juga dinamakan fungsi simetri dikarenakan bentuknya yang simetri. Selain itu, gambar 5 (b) adalah fungsi ganjil karena derajat polinomialnya berbilangan ganjil.

3. Fungsi Rasional
Fungsi ini bisa kita dapatkan bentuknya secara analogi dengan bilangan rasional. Suatu bilangan dikatakan bilangan rasional jika ia adalah hasil bagi bilangan bulat. Sederhananya, ia melibatkan bentuk pecahan adanya pembilang dan penyebut.  Nah, begitu juga dengan fungsi rasional, bentuknya kurang lebih sama seperti itu. Hanya saja, di sini pembilang dan penyebutnya ialah fungsi. Bentuk umum persamaan fungsi rasional adalah sebagai berikut.

Dengan p(x) dan q(x) adalah fungsi polinomial. Contoh dari fungsi ini misalnya

4. Fungsi Akar
Sesuai dengan namanya, bentuk umum persamaan fungsi ini berupa akar dengan bentuk umum sebagai berikut.

dengan n bilangan bulat positif lebih besar dari 1. Contoh sederhananya dan .

5. Fungsi Transendental
Beberapa fungsi mungkin tidak bisa dideskripsikan dengan bentuk aljabar biasa. Fungsi-fungsi inilah yang dinamakan sebagai fungsi transendental, karena sifatnya yang melampaui (transcendent) bentuk aljabar sebagaimana contoh di atas. Beberapa contoh umum fungsi transendental adalah fungsi trigonometri, eksponensial, dan logaritma.

Fungsi trigonometri berkaitan dengan rasio dua sisi pada segitiga siku-siku, yaitu sin x, cos x, tan x, cosin x, cosec x, dan cotan x. Adapun bentuk umum persamaan fungsi eksponensial dan logaritma berturut-turut adalah  dan , dengan b > 0, b ≠ 1, dan  berlaku jika dan hanya jika .

Fungsi rasional dan fungsi akar secara umum dikelompokkan sebagai fungsi aljabar. Di sisi lain, bentuk variasi antarfungsi yang berbeda jenis sangat mungkin dilakukan, seperti
 
yang merupakan kombinasi fungsi akar dan fungsi kuadrat, dan masih banyak lagi contoh lainnya yang lebih bervariasi.

Operasi Dasar Fungsi
Sebelumnya kita udah tau nih kalau sangat mungkin antarfungsi yang berbeda jenis itu divariasikan. Di sisi lain, antarfungsi juga bisa dikombinasikan dengan operasi matematika biasa: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, sehingga menghasilkan fungsi baru. Diketahui terdapat dua fungsi, yaitu fungsi f dan fungsi g. dari kedua fungsi tersebut, kita dapat menemukan fungsi baru dengan operasi sebagai berikut.

Khusus operasi pembagian fungsi, . Ada satu lagi operasi fungsi yang juga umum digunakan, yaitu komposisi fungsi. Hanya saja, karena keterbatasan ruang, komposisi fungsi tidak dibahas di sini. Sebagai pengenalan, fungsi komposisi sederhananya adalah bentuk fungsi di dalam fungsi dengan notasi . Fungsi g(x) berada di dalam fungsi f(x). Misalkan ada dua persamaan f(x) dan g(x) sebagai berikut.
 

Komposisi fungsinya adalah sebagai berikut.

Contoh soal:
Terdapat fungsi  dan . Tentukan setiap fungsi berikut dan daerah asal (domain) fungsinya.

1. (f + g)(x)
2. (f – g)(x)
3. (f · g)(x)
4. (f/g)(x)

Jawaban

1. , dengan daerah asal (domain) fungsi berada pada interval (-∞, ∞).
2. , dengan domain fungsi berada pada interval (-∞, ∞).
3. , dengan domain fungsi berada pada interval (-∞, ∞).
4. persamaan yang didapat adalah sebagai berikut,
   
5. dengan daerah asal fungsi ini adalah semua bilangan x yang x tidak boleh sama dengan 1 dan -1 (sebab, bila x = – 1, g(x) = 0, sehingga penyebutnya sama dengan 0. Sama halnya ketika x = 1. Ini yang tidak boleh berlaku).

Bila merujuk pada poin 4) soal di atas, fungsi di 4) adalah fungsi aljabar. Fungsi di c) ialah fungsi polinomial dengan derajat 3 (pangkat paling tinggi ialah 3). Begitu juga fungsi pada poin 1) dan 2) adalah fungsi kuadrat yang merupakan fungsi polinomial.

Referensi:

Herman, E. J., & Strang, G. (2018). Calculus Volume 1. Texas: OpenStax.

Sinaga, B., Sinambela, P. N., Sitanggang, A. K., Hutapea, T. A., Sinaga, L. P., Manullang, S., . . . Bayuzetra, Y. T. (2014). Matematika Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Semester 1. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.