Limit Fungsi Aljabar: Konsep, Metode, Limit tak hingga [Lengkap+Contoh Soal]

Limit yaitu suatu konsep matematika yang menyatakan nilai dari suatu hal berdasarkan pendekatan dari berbagai sudut pandang. Terdapat aplikasi limit baik secara langsung maupun tidak langsung. Secara langsung salah satunya yaitu cara kerja speedometer pada kendaraan bermotor. Mengapa hal tersebut menggunakan konsep limit? Kita dapat mudah memperhatikan bahwa data kecepatan speedometer hampir instan atau waktu mendekati nol. Jika meninjau konsep dasar kecepatan yaitu perpindahan per dengan waktu, maka kecepatannya akan sangat besar dan mendekati tak hingga.

Definisi Limit

Secara matematis, definisi dari limit adalah sebagai berikut:

Misal kita definisikan suatu fungsi f(x) pada suatu interval yang mengandung x=a tanpa mengetahui nilai dari f(a)

L merupakan limit dari fungsi f(x) saat x \rightarrow a jika dan hanya jika, untuk setiap \varepsilon >0 terdapat \delta >0 yang memenuhi

blank, ketika 0<|x-a|<\delta

blank

Membingungkan bukan? Mari kita bedah definisi tersebut satu per satu.

Pada kurva paling kiri, untuk limit fungsi f(x \rightarrow a)=L didekati dari dua arah yaitu sumbu-y positif dan sumbu-y negatif sejauh \varepsilon >0. Karena nilai dari fungsi didekati, maka terdapat nilai dari variabel bebas x yang didekati dari dua arah yaitu sumbu-x positif dan sumbu-x negatif sejauh \delta >0. Jika variable bebas x yang didekati dibuat suatu rentang, maka dapat ditebak bahwa x berada pada rentang 0<|x-a|<\delta ketika f(x) berada pada rentang blank.

Kontinuitas Limit

Dari definisi limit, kita dapat mengetahui bahwa limit merupakan bentuk dari pendekatan dari dua arah. Variabel bebas x dapat didekati dari kiri dan kanan, bentuk limit ini sering disebut sebagai limit kiri dan limit kanan.

  1. Limit kiri atau didekati dari arah kiri disimbolkan \lim_{x \to a^-} f(x)
  2. Limit kanan atau didekati dari arah kanan disimbolkan \lim_{x \to a^+} f(x)

Nilai dari limit harus dapat didekati dari kedua arah tersebut, jika nilainya terputus maka tidak terdapat nilai limit pada titik tersebut. Contoh:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x(1-x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{1}{(1-x)} = (1)(1) = 1

Nilai dari fungsi tersebut yaitu f(0)=1, akan tetapi tidak memenuhi bentuk pendekatan karena jika kita lihat dari kurva di bawah ini tidak mungkin fungsi tersebut dapat mendekati 0 karena memang fungsinya tidak menyentuh x=0 sama sekali.

blank

Sifat-sifat limit

Terdapat 9 sifat yang dimiliki oleh limit fungsi, yaitu:

  1. \lim_{x \to a} k = k;
  2. \lim_{x \to a} x = a;
  3. \lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a} f(x);
  4. \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x);
  5. \lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x);
  6. \lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x);
  7. \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x to a} g(x)}, dengan \lim_{x \to a} g(x) \neq 0;
  8. \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n;
  9. \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}, dengan \lim_{x \to a} f(x) >0 ketika n genap

Sifat-sifat fungsi di atas akan selalu terpenuhi jika definisi dari limit yang telah terpenuhi. Fungsi dari Sifat-sifat tersebut yaitu untuk memanipulasi persamaan matematika yang dari observasi suatu fenomena fisis. Persamaan matematika tersebut pada umumnya bersifat linier atau dalam bentuk persamaan diferensial, konsep dari diferensial berlandaskan dari limit sehingga persamaan dapat dimanipulasi menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Metode Penyelesaian

  • Metode substitusi

Metode ini merupakan penggunaan konsep limit yang paling sederhana, jika fungsinya kontinyu maka kemungkinan besar metode ini dapat digunakan. Contoh:

\lim_{x \to 1} \frac{x^2-2x-3}{x+1} = \frac{1-2-3}{2}=-2

  • Metode pemfaktoran

Metode pemfaktoran digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi dalam bentuk fraksi, metode ini digunakan jika metode substitusi memberikan hasil \frac{0}{0} atau \frac{\infty}{\infty}. Contoh:

\lim_{t \to 1} \frac{\sqrt{t}-1}{t-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{t}-1}{(\sqrt{t}-1)(\sqrt{t}+1)} = \lim_{t \to 1} \frac{1}{\sqrt{t}+1} = \frac{1}{2}

  • Metode perkalian dengan bentuk sekawan

Metode ini memanfaatkan bentuk sekawan dari suatu fungsi, yang jika dikalikan akan membentuk (a^2-b^2), jika suatu fungsi (a+b) maka bentuk sekawannya adalah (a-b). Contoh:

\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x^2} \times \frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}

= \lim_{x \to 0} \frac{(1+x^2)-(1-x^2)}{x^2(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}= \frac{2}{\sqrt{1+1}+\sqrt{1-1}} = \sqrt{2}

  • Metode L’Hôpital

Metode ini memanfaatkan konsep turunan, yaitu:

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{\frac{d}{dx} f(x)}{\frac{d}{dx} (g(x)}

Limit tak hingga

Limit tak hingga merupakan bentuk dari limit fungsi pada tinjauan sangat jauh atau tak hingga. Konsep dari tak hingga sendiri cukup unik yaitu jika kita melakukan perjalanan dengan kecepatan 1 dan terus berkurang setengahnya membentuk urutan {1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4},...} maka kita tidak akan mengetahui berapa banyak langkah yang diperlukan untuk mencapai akhir, namun kita dapat mengetahui bahwa akhir dari perjalanan kita yaitu pada 2. Fenomena tersebut merupakan salah satu dari Zeno’s Paradoxes.

Kembali ke limit, jika kita tidak mengetahui berapa banyak tak hingga bisakah kita menentukan nilai dari \frac{1}{\infty}? Jawabannya adalah tidak. Karena kita tidak dapat menentukan banyaknya langkah untuk mencapai hal tersebut seperti pada paradox sebelumnya. Lalu apa yang dapat kita lakukan? Melihat pendekatannya. Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0

Mari kita terapkan konsep ini pada contoh soal berikut:

\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1}+...}{b_m x^m +b_{m-1} x^{m-1}+...} =L= \lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n(1 +\frac{a_{n-1} x^{-1}}{a_n}+...}{b_m x^m (1+\frac{b_{m-1} x^{-1}}{b_m}+...} = \lim_{x \to \infty} \frac {a_n x^n}{b_m x^m}

Rumus cepat::

  1. Jika n>m maka L=\infty
  2. Jika n<m maka L=0
  3. Jika n=m maka L=\frac{a_n}{b_m}

Dengan menggunakan faktorisasi dan konsep limit tak hingga, untuk bentuk limit

\lim_{x \to \infty} \sqrt{a_n x^n +a_{n-1} x^{n-1}+...}-\sqrt{b_n x^n +b_{n-1} x^{n-1}+...} = G

Rumus cepat:

  1. Jika a_n = b_n maka G = \frac{(a_{n-1} - b_{n-1})}{2 \sqrt{a_n}}
  2. Jika a_n > b_n maka G = \infty
  3. Jika a_n < b_n maka G = - \infty
blank

Contoh Soal HOTS

1. Tentukan nilai dari n jika \lim_{x \to 2} \frac{x^n-2^n}{x-2} = 80

Solusi:

Dengan menggunakan aturan L’Hôpital:

\lim_{x \to 2} \frac{x^n-2^n}{x-2}=\lim_{x \to 2} \frac{nx^{n-1}}{1}=80

n x^{n-1} = 80

Untuk mengubah 80 menjadi kelipatan 2, maka n = 5

2. Jika \lim_{x \to \infty}(\frac{2x^2+4x+3}{x+1} -2ax-b) = 8, tentukan nilai dari a+b

Solusi:

\lim_{x \to \infty}(\frac{2x^2+4x+3}{x+1} -2ax-b) = 8

\Longrightarrow \lim_{x \to \infty}(\frac{2x^2+4x+3-(2ax^2+2ax+bx+b)}{x+1})=8

\Longrightarrow \lim_{x \to \infty}(\frac{(2x^2-2ax^2)+(4x-2ax-bx)+(3-b)}{x+1})=8

\Longrightarrow \lim_{x \to \infty}(\frac{2x^2(1-a)+x(4-2a-b)+(3-b) }{x+1})=8

Solusi ada jika 2x^2(1-a) = 0 \Longrightarrow a=1

Kemudian (4-2a-b)=8 \Longrightarrow b=-6

a+b = 1-6=5

Zeno’s Paradox

Referensi:

[1] D. Varberg, E. Purcell and S. Rigdon, Calculus with Differential Equations 9th Edition, Upper Saddle River, New Jersey: Pearson, 2006.

Setelah selesai membaca, yuk berikan artikel ini penilaian!

Klik berdasarkan jumlah bintang untuk menilai!

Rata-rata nilai 0 / 5. Banyaknya vote: 0

Belum ada yang menilai! Yuk jadi yang pertama kali menilai!

Baca juga:
Muhammad Guntur
Artikel Berhubungan:

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *