Dalam kehidupan sehari-hari, kita terbiasa dengan hukum dasar sains, yaitu hukum kekekalan massa dan energi. Hukum ini menyatakan bahwa materi dan energi tidak bisa begitu saja hilang atau muncul dari ketiadaan, mereka hanya bisa berubah bentuk. Misalnya, kayu yang dibakar berubah menjadi asap, panas, dan abu, tetapi jumlah total energi dan materi tetap sama.
Namun, di dunia matematika, aturan yang berlaku bisa sangat berbeda dengan apa yang kita alami secara fisik. Matematika punya “jalan rahasia” atau hasil-hasil yang tidak sesuai dengan intuisi manusia. Salah satu contoh paling mencengangkan adalah Paradoks Banach–Tarski.
Paradoks ini muncul dari cabang matematika bernama teori himpunan (ilmu yang mempelajari kumpulan objek) dan geometri (ilmu tentang bentuk dan ruang). Secara singkat, paradoks ini menyatakan bahwa sebuah bola padat (objek tiga dimensi) bisa dipotong menjadi sejumlah bagian terbatas, lalu bagian-bagian itu disusun kembali dengan cara tertentu hingga menjadi dua bola utuh yang sama besar dengan bola semula.
Jika dibayangkan secara nyata, seolah-olah kita bisa “menciptakan sesuatu dari ketiadaan” hanya dengan membagi dan menyusun ulang. Tentu saja, ini tidak mungkin dilakukan di dunia fisik, karena hukum kekekalan tetap berlaku di alam semesta kita. Paradoks ini hanyalah konsekuensi dari logika matematika yang sangat abstrak, dan hasilnya menunjukkan betapa jauhnya matematika bisa melampaui intuisi sehari-hari kita.
Sekilas, ini terdengar seperti sihir. Bayangkan kamu punya satu bola padat, lalu dengan trik matematika, bola itu bisa dipecah dan disusun kembali menjadi dua bola utuh dengan ukuran sama persis seperti aslinya. Mustahil di dunia nyata, tapi sah-sah saja dalam matematika.
Baca juga artikel tentang: JWST Ungkap Misteri Kosmos: Apakah Big Bang Terjadi di Dalam Lubang Hitam?
Apa Itu Paradox Banach–Tarski?
Paradox ini pertama kali dijelaskan pada tahun 1924 oleh dua matematikawan Polandia, Stefan Banach dan Alfred Tarski. Intinya:
- Ambil sebuah bola padat di ruang tiga dimensi.
- Potong bola tersebut menjadi sejumlah bagian.
- Susun ulang bagian-bagian itu dengan rotasi dan translasi (geser-putar tanpa merusak bentuknya).
- Hasilnya: kamu punya dua bola yang identik dengan bola pertama.
Seolah-olah, kamu menggandakan volume hanya dengan memotong dan menyusun ulang. Tidak ada “tambahan bahan”, tidak ada peregangan, hanya geometri murni.
Rahasia di Balik Paradox: Himpunan Non-Measurable
Bagaimana ini bisa terjadi? Jawabannya ada pada konsep matematika yang disebut himpunan tak terukur (non-measurable sets).
Biasanya, ketika kita memotong benda, kita bisa menghitung volumenya dengan jelas. Tapi potongan dalam Banach–Tarski tidak seperti potongan biasa. Mereka begitu “aneh” dan abstrak sehingga tidak punya volume yang bisa didefinisikan.
Dengan kata lain, hukum volume biasa tidak berlaku di sini. Jadi ketika potongan-potongan itu digabung ulang, kita tidak melanggar aturan matematika, meskipun hasilnya menabrak intuisi kita tentang dunia nyata.
Aksioma Pilihan: “Jembatan” Menuju Paradox
Kunci utama paradox ini adalah aksioma pilihan (axiom of choice), sebuah prinsip dalam matematika yang menyatakan:
Dari setiap koleksi himpunan, meskipun tak terhingga banyaknya dan tanpa aturan jelas, kita bisa memilih satu elemen dari tiap himpunan.
Aksioma ini terdengar sederhana, tetapi punya konsekuensi luar biasa. Dengan menggunakannya, Banach dan Tarski bisa “memilih” elemen-elemen tertentu dari bola untuk membentuk potongan non-measurable tadi.
Tanpa aksioma pilihan, paradox ini tidak bisa dibuktikan. Jadi keberadaan Banach–Tarski sangat erat dengan keputusan kita menerima aksioma ini sebagai dasar logika matematika.
Kenapa Tidak Bisa Terjadi di Dunia Nyata?
Walau secara matematis sah, Banach–Tarski tidak bisa dilakukan secara fisik. Ada beberapa alasan:
- Atom dan Batas Materi
Dunia nyata tersusun dari atom. Kita tidak bisa memotong benda padat menjadi bagian “tak terukur” yang abstrak, karena pada skala tertentu materi bersifat diskrit. - Hukum Kekekalan Massa dan Energi
Fisika menuntut bahwa jumlah materi tidak bisa bertambah begitu saja. Banach–Tarski melanggar hukum ini jika dicoba secara fisik. - Alat Praktis Tidak Ada
Bahkan jika kita menerima ide potongan non-measurable, tidak ada cara praktis untuk membuat atau memanipulasi potongan tersebut. Itu hanya eksis dalam ranah abstrak, bukan realitas material.
Dengan kata lain, paradox ini adalah produk murni matematika, bukan panduan membuat emas atau memperbanyak roti seperti dalam cerita fantasi.
Implikasi Ilmiah dan Filosofis
Meski tidak bisa dipraktikkan, paradox ini punya makna besar:
- Menguji Batas Definisi Matematika
Banach–Tarski menunjukkan bahwa “volume” tidak selalu bisa didefinisikan untuk semua jenis himpunan. Hal ini mendorong lahirnya teori ukuran yang lebih canggih. - Menunjukkan Kekuatan Aksioma
Paradox ini mengingatkan kita bahwa matematika dibangun di atas fondasi berupa aksioma. Pilihan menerima atau menolak aksioma tertentu bisa mengubah lanskap hasil matematika. - Memisahkan Dunia Abstrak dan Dunia Fisik
Matematika mampu menjelajah ke wilayah yang jauh melampaui intuisi manusia. Tapi tidak semua hasil matematika langsung berlaku di dunia nyata. Paradox ini adalah pengingat penting bahwa fisika punya batasannya sendiri. - Meningkatkan Apresiasi Publik pada Matematika
Kisah seperti Banach–Tarski sering digunakan untuk menginspirasi rasa kagum pada matematika, menunjukkan bahwa dunia abstrak bisa menghasilkan “sihir logis” yang tak kalah menarik dari fiksi.
Analogi Sederhana untuk Orang Awam
Bayangkan kamu punya sebuah kue. Normalnya, kalau kamu memotong kue itu jadi potongan-potongan lalu menyusunnya lagi, ukurannya tidak akan berubah. Tapi dalam matematika, Banach–Tarski seakan mengatakan: jika kamu bisa memotong kue dengan cara yang benar-benar abstrak, lalu menyusunnya kembali, tiba-tiba kamu punya dua kue utuh.
Tentu, ini bukan resep memasak. Ini hanyalah gambaran betapa luasnya dunia matematika.
Banach–Tarski Paradox bukan trik sulap atau eksperimen fisika, melainkan sebuah konsekuensi logis dari cara kita mendefinisikan matematika. Ia menunjukkan betapa jauhnya dunia abstrak bisa berbeda dari kenyataan sehari-hari.
Dari satu bola menjadi dua bola, dari ketiadaan menjadi sesuatu—paradox ini memberi kita jendela untuk melihat betapa menakjubkannya interaksi antara logika, aksioma, dan imajinasi.
Baca juga artikel tentang: Cermin Matahari Penangkal Asteroid: Inovasi Gila Tapi Nyata
REFERENSI:
Russell, Bertrand. 2025. Mathematics and the Metaphysicians. Mysticism and logic, 69-90.
Spalding, Katie. 2025. The Mathematical Paradox That Lets You Create Something From Nothing. IFLScience: https://www.iflscience.com/the-mathematical-paradox-that-lets-you-create-something-from-nothing-80687 diakses pada tanggal 26 September 2025.
