Metode Integral Garis Diskrit Orde Dua untuk Sistem Gaya Lorentz

 Perkembangan teknologi dan informasi terus bergerak maju. Tidak dapat dipungkiri akan banyak muncul berbagai simplifikasi struktur maupun perumusan kompleks yang kemudian disederhanakan menjadi lebih sederhana. Perkembangan ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa sehingga para praktisi maupun profesional di bidang rekayasa teknik dan sains dapat menganalisa dengan perhitungan manual secara lebih efektif tepat guna serta mengurangi probabilitas terjadinya kesalahan. Upaya pengembangan salah satunya diterapkan ke dalam ilmu kalkulus. Kalkulus (Bahasa Latin : calculus, artinya “batu kecil” untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar, kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan berupa operasi bilangan. Pengaplikasian kalkulus sangatlah luas baik di bidang sains, ekonomi, maupun teknik. Satu diantara aplikasinya yang ingin disorot pada esai ini adalah penggunaan cabang ilmu kalkulus berupa integral garis terhadap sistem gaya Lorentz berupa persamaan Newton-Lorentz menjadi Hamiltonian non-kanonik.

Dalam penguraian persamaan Newton-Lorentz menjadi Hamiltonian non-kanonik, untuk partikel bermuatan di medan elektromagnetik, dinamikanya diatur oleh persamaan Newton – Lorentz sebagai berikut :

Di mana x adalah posisi partikel bermuatan, m adalah massa, dan q adalah muatan listrik. Untuk memudahkan, diasumsikan bahwa B dan E statis, sehingga B = ∇ × A dan E = −∇ϕ dengan A dan ϕ potensial. Misalkan momentum konjugasi adalah maka persamaan Newton – Lorentz dapat dituliskan menjadi persamaan Hamiltonian berikut :

Memanfaatkan transformasi G: (x, p) – → (x, v), x = x, v = p / m −q A (x) / m, persamaan Newton – Lorentz disusun kembali sebagai berikut :

Kemudian nyatakan z = [x T, v T] T, maka kedua persamaan diatas dapat ditulis sebagai persamaan Hamiltonian non-kanonik sebagai berikut :

Dengan H(z), K(z) dan B(x) secara berturut – turut sebagai berikut :

.

  Mulai dari kondisi awal z0 kita ingin menghasilkan aproksimasi baru pada t = h, dimana z1 merupakan Hamiltonian yang dikonservasikan. Dengan mempertimbangkan jalur yang paling sederhana untuk menghubungkan z 0 dan z 1, yaitu :

Didapatkan :

  

Sehingga dapat dibuktikan bahwa :

Menggunakan aturan Boole untuk menghitung integral di sisi kanan persamaan di atas secara numerik, didapatkan metode BDLI (Boole Discrete Line Integral) dari persamaan Hamiltonian non-kanonik dengan bentuk :

Metode BDLI berorde 2 yang simetris dan berorde 2 ini jelas lebih efektif tepat guna apabila dibandingkan dengan persamaan Hamiltonian non-kanonik apabila H adalah Hamiltonian polinomial dengan derajat ν ≤ 4. Untuk menghitung integral secara numerik sebenarnya juga bisa menggunakan rumus kuadratur lain seperti aturan trapezoid, aturan simpson, dan sebagainya. Pada Eksperimental Numerik dinyatakan bahwa bahwa Metode BDLI dapat menjadi alternatif untuk perhitungan non-polinomial Hamiltonian dimana galat BDLI dapat diperkecil sampai tak berhingga. Pada pengujian metode BDLI, untuk menyelesaikan masalah non linier sistem di setiap langkah waktu digunakan metode iteratif titik tetap.

Pembahasan pertama untuk kasus Hamilton non-polinom adalah dinamika 2D dari partikel bermuatan dalam sebuah medan elektromagnetik yang tidak seragam. Berdasarkan analisis teori, orbit partikel bermuatan berbentuk lingkaran spiral yang memiliki jari-jari konstan. Medan elektromagnetik statis dan tidak seragam dinyatakan sebagai berikut :

$B=\nabla \times A=R{e}_z,E=-\nabla \varphi =\frac{10^{-2}}{R^3}(x{e}_x+y{e}_y)$

.

.

Gambar 1 menunjukkan metode Boris dan hasil numeriknya dengan anggapan posisi awal X0 = [0, 0.1, 0] dengan kecepatan awal V0 = [0.1, 0.01, 0] dan ukuran langkahnya adalah h = $\pi /10$ yang merupakan 1/20 dari karakteristik periode giro 2$\pi$. Gambar 1a menunjukkan orbit numerik metode Boris pada putaran yang ke-100 sedangkan Gambar 1b menggambarkan kesalahan dari momentum sudut, momen magnet dan energi untuk waktu(t) $ϵ[0,5\times 10^{4}h$. Terlihat bahwa kesalahan dibatasi dalam waktu integrasi yang lama. Kemudian kembali mengirim teks metode BDLI dengan langkah yang sama dan hasilnya ditunjukkan oleh Gambar 2. Gambar 2a menunjukkan orbit numerik dari metode BDLI pada putaran ke-100 sedangkan Gambar 2b menunjukkan kesalahan dari invarian untuk (t) $ϵ[0,5\times 10^{4}h$. Terlihat juga bahwa kesalahan momentum sudut dan momentum magnet juga dibatasi dalam waktu integrasi yang lama. Metode BDLI bisa mempertahankan non-polinom Hamiltonian hingga pembulatan kesalahan.

Berikutnya adalah pembahasan mengenai aplikasi penting yang lain dari dinamika pusat pemandu yakni gerakan partikel bermuatan geometri tokamak axisymmetric 2 dimensi tanpa medan listrik induktif. Pada kasus ini, gaya Lorentz adalah sistem polinomial Hamiltonian. Medan magnet dalam koordinat toroidal (r, θ, ξ) dinyatakan sebagai:

$B=\frac{B_{0}r}{qR}{e}_{\theta }+{\frac{B_0{R}_0}{R}e}^{}\xi$

Gambar 3 menunjukkan simulasi lebih dari 5 ×10⁴ langkah yang mengadopsi metode BDLI. Gambar 3a menunjukkan solusi orbit pisang, Gambar 3b menunjukkan solusi orbit transit. Sedangkan Gambar 3c menampilkan kesalahan dari energi(h). Terlihat bahwa kesalahan energinya hingga kesalahan pembulatan 10⁻¹⁸ . Penggunaan metode iteratif tidak menghemat energi sehingga ada penyimpangan dalam numerik Hamiltonian. Eksperimen yang dilakukan menunjukkan keunggulan dari metode BDLI untuk menyelesaikan sistem Gaya Lorentz dengan medan elektromagnetik statis. Metode BDLI yang diusulkan untuk sistem gaya Lorentz, yang ditulis sebagai Hamiltonian non-kanonik. Sistem koordinat (x, v) sebagai hasil numerik menunjukkan bahwa metode ini ekonomis untuk polinomial Hamiltonian. Untuk kasus Hamiltonian non-polinom, metode ini juga dapat menghemat energi, hingga kesalahan pembulatan dapat diminimalisir. Karena karakteristik hemat energinya, metode BDLI bekerja dengan baik dalam waktu simulasi yang lama.

Referensi:

Li, H. & Wang, Y., 2016. A discrete line integral method of order two for the Lorentz force system. Applied Mathematics and Computation, 291, pp. 207–212.

Ditulis oleh:

• Muhammad Ridho     
• Muhammad Azis Firmansyah     
• Jasmine Sekar Bayu Pitaloka        
• Riznanda Ridho Mahendra       
• Siti Puput Nurhidayah   

.