Mendesain Pemecah Gelombang Air Laut dengan Teorema Green

Dalam mempertimbangkan desain infrastruktur pantai untuk pencegahan kerusakan lingkungan laut terutama daerah perairan pesisir, seringkali dibutuhkan pemecah gelombang air laut. Hal ini sudah didalami secara luas oleh banyak peneliti. Salah satu pengembangannya adalah pemecah gelombang permukaan dengan penghalang berpori tipis. Interaksi antara gelombang dan penghalang berpori yang diletakkan dibawah permukaan dengan kedalaman tak terbatas dapat dianalisis berdasarkan perkiraan gelombang. Memanfaatkan teorema green untuk merumuskan persamaan hypersingular akan didapatkan perbedaan potensial gelombang yang melewati media berpori. Koefien refleksu dan transmisi dan gaya hidrodinamik pada penghalang berpori dapat dianalisis untuk berbagai parameter.

Pemecah gelombang yang terendam dibawah permukaan air memungkinkan pertukaran massa air melalui pori-pori pemecah gelombang, sehingga daerah perairan yang dilindungi dapat bersirkulasi, dan meminimalisir pencemaran air yang dapat merusak ekosistem. Sebaran gelombang oleh pemecah gelombang berpori ditunjukkan untuk perairan dalam, dimana penghalang akan dimasukkan ke dalam perairan dengan kedalaman tanpa batas. Selain itu terdapat perairan yang memiliki dua jenis air yaitu air tawar pada permukaan atas dan air asin pada kedalaman tertentu dapat disiasati dengan membangun jembatan pipa. Perambatan gelombang pada perairan yang memiliki jenis air berbeda.

Penghalang berbahan pori memiliki daya disipasi energi, sehingga energi gelombang yang melalui penghalang akan berkurang. Penelitian oleh Oma Basu, Sandip Paul dan Soumen De berrfokus pada pengembangan penelitian oleh Benerjea S. dkk mengenai pemecah gelombang dengan penghalang tipis. Basu menggunakan penghalang berpori sebagai pemecah gelombang pada perairan yang memiliki dua karakterisrik. Akan tetapi, penghalang akan diperpanjang tanpa batas kedalam perairan. Dengan menggunakan teorema green pada dua daerah fluida, akan menghasilkan persamaan integral hypersingular untuk mendapatkan perbedaan potensial yang melewati barrier. Selain itu, metode kolokasi yang melibatkan Chebyshev polynomial akan menyelesaikan persamaan integral Hypersingular. Menjadikan persamaan menjadi sistem persamaan linear untuk mendapatkan koefisien refleksi dan transmisi, yang dapat dianalisa secara numerik

Jika ditinjau dari interaksi gelombang dan penghalang berpori, gelombang akan melewati celah-celah dari pori dapat diselesaikan dengan ekspansi fungsi eigen, dengan mempertimbangkan konfigurasi yang berbeda dari penghalang. Permasalahan utama adalah teori potensial linear pada dimensi antarmuka dengan karakteristik air yang berbeda. Daerah perairan yang memiliki dua jenis fluida tidak dapat dimampatkan dan memiliki massa jenis yang berbeda.

Dimisalkan perairan di kordinatkan secara kartesius, dimana sumbu x sepanjang perbatasan dua fluida dan sumbu y merupakan kedalaman secara vertical. Lapisan atas lebih dari nol dan dan lapisan bawah kurang dari nol.

Hasilnya fluida di jelaskan oleh potensial kecepatan waktu harmonik $\left(\varphi \left(x,y\right)e^{i\omega t}\right)dan\left(\psi \left(x,y\right)e^{-i\omega t}\right)$ di cairan bawah dan atas masing-masing, dengan $\varphi \left(x,y\right)$dan $\psi \left(x,y\right)$ memenuhi persamaan Laplace berikut:

$v^2\varphi =0dalam0\le y<\infty$

$v^2\psi =0dalam-\infty <y\le 0$

Kondisi batas pada antarmuka fluida ditentukan oleh

$k\varphi +\varphi y=\rho \left(k\psi +{\psi }_y\right),diy=0$

${\varphi }_y={\psi }_y,diy=0$

dimana ρ = ρ1 /ρ2, K = ω2 /g, g menjadi percepatan gravitasi dan ω adalah frekuensi melingkar. Kondisi permukaan bawah dan bebas diberikan oleh

$\nabla \varphi \to 0sebagaiy\to \infty$

$\nabla \psi \to 0sebagaiy\to -\infty$

Posisi yang benar-benar cocok , penghalang orous terletak di tempat tinggal fluida yang lebih rendah x=0 ,a <y < $\infty$Berdasarkan hukum Darcy, syarat batas pada penghalang berpori diberikan oleh

$\varphi x=-iMG\left[\varphi \left(0+y\right)-\varphi \left(0-,y\right)\right]$

Ketika rangkaian gelombang merambat dari ketidakterbatasan negatif, potensi gelombang datang mengambil bentuk

${\varphi }_0\left(x,y\right)=e^{iMx-my},dicairanbawah$

${\psi }_0\left(x,y\right)=-e^{iMx+my},dicairanatas$

Dimana Ketika= K/σ, σ = (1 − ρ)/(1 + ρ), G ≡ Gr + iGi =$\frac{\gamma (f+iS)}{Md(f^2+s^2)}$ adalah poros efek parameter kompleks. Rangkaian gelombang progresif amplitudo kecil terjadi pada penghalang berpori tipis, Kemudian kondisi dix = ± ∞ diberikan oleh

$\left(\frac{\varphi \left(x,y\right)}{\psi (x,y)}\right)\to \left\{\begin{array}{c}\left(\frac{e^{iMx-my}}{-e^{iMx+my}}\right)+R\left(\frac{e^{-iMx-my}}{e^{-iMx-my}}\right)x\to -\infty \\ T\left(\frac{e^{iMx-my}}{-e^{iMx+my}}\right)x\to \infty \end{array}\right)$

Pertimbangkan potensi yang tersebar karena $\varphi$1 (x, y) dan ψ1 (x, y) diberikan oleh adanya penghalang berpori menjadi fungsinya

${\varphi }_1\left(x,y\right)=\varphi \left(x,y\right)-{\varphi }_0\left(x,y\right)$

${\psi }_1\left(x,y\right)=\psi \left(x,y\right)-{\psi }_0\left(x,y\right)$

yang memenuhi masalah nilai batas berikut :

${\nabla }^2{\varphi }_1=0iny\ge 0$

${\nabla }^2{\psi }_1=0iny\le 0$

$K{\varphi }_1+{\varphi }_{1y}=\rho \left(K{\psi }_1+{\psi }_{1y}\right)ony=0$

${\varphi }_{1y}={\psi }_{1y}ony=0$

$\nabla {\varphi }_1\to 0sebagaiy\to \infty$

$\nabla {\psi }_1\to 0sebagaiy\to -\infty$

Dan

${\varphi }_{1x}=-1M\left(e^{-my}+Gf\left(y\right)\right)$

Dimana f(y) = ${\varphi }_1$ (+0, y) − ${\varphi }_1$ (−0, y) = $\varphi$ (+0, y) − $\varphi$ (−0, y).

.

Kondisi medan jauh berbentuk

$\left(\frac{\varphi \left(x,y\right)}{\psi (x,y)}\right)\to \left\{\begin{array}{c}R\left(\frac{e^{-iMx-my}}{{-e}^{-iMx+my}}\right)x\to -\infty \\ \left(T-1\right)\left(\frac{e^{iMx-my}}{-e^{iMx+my}}\right)x\to \infty \end{array}\right)$

Untuk memecahkan persamaan di atas kita membutuhkan dua dimensi yaitu fluida bawah dan fluida atas G(x, y; ξ, η) dan H(x, y; ξ, η). Lalu kita mengaplikasikan teorema green ke fungsi φ1(x, y) dan G(x, y; ξ, η), ψ1(x, y) dan H(x, y; ξ, η)

Dengan garis x = ± X, −Y <y ≤ 0; y = −Y, 0, −X ≤ x ≤ X dengan membuat nilai X,Y $\to$ $\infty .$Dengan demikian diperoleh persamaan integral

$\varnothing 1\left(\xi ,\eta \right)=-\frac{1}{2\pi }{\int }_a^{\infty }f\left(y\right)G$_x $(0,y$_; $\xi ,\eta )dy$

.

Diskontinuitas tekanan melintasi penghalang berpori cenderung nol saat kita mendekati tepi pada y = a (f(a)=0), maka di peroleh nilai, y =

.

$\varnothing 1\left(\xi ,\eta \right)=-iM\left(e^{-K\eta }+Gf\left(\eta \right)\right),\eta =(a,\infty )$

.

Dari dua persamaan di atas maka dapat diperoleh nilai persamaan integral-diferensial

.

$\frac{\partial }{\partial \xi }{\int }_a^{\infty }f\left(y\right)G$_x $(0,y$_; $0,\eta )dy-2\pi iMGf(\eta )=2\pi iM{e}^{-M\eta },\eta =(a,\infty )$
.

Urutan integrasi dan diferensiasi dalam Persamaan di atas dapat dipertukarkan asalkan integral ditafsirkan sebagai integral bagian hingga. Ini mengarah ke berikut ini persamaan integral hipersingular:

${\int }_a^{\infty }f\left(y\right)G$_x $(0,y$_; $0,\eta )dy-2\pi iMGf(\eta )=2\pi iM{e}^{-M\eta },\eta =(a,\infty )$ ……………….(1)

Dengan koefisien refleksi dan transmisinya diperoleh dengan persamaan :

$R=-\frac{M}{1+\rho }{\int }_a^{\infty }f\left(y\right)e^{My}dy$

.

$T=1+\frac{M}{1+\rho }{\int }_a^{\infty }f\left(y\right)e^{My}dy$Nilai f(y) untuk mencari koefisien refleksi dan transmisi diperoleh dari penyelesaian persamaan (1) di atas.

.

Ketika nilai (x,$\xi )$ mendekati (0,0) nilai potensial sumber diambil dari

$G$_x $(0,y$_; $0,\eta )=-\frac{1}{{\left(y-\eta \right)}^2}-L(y,\eta )$………………………………………(2)

Dimana

$L\left(y,\eta \right)=\frac{\sigma }{{\left(y+\eta \right)}^2}+\frac{2M}{\left(1+\rho \right)+\left(y+\eta \right)}+\frac{2M}{\left(1+\rho \right)}$ ζ$(y,\eta )$

ζ$\left(y,\eta \right)={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-k\left(y+\eta \right)}}{k-M}dK$

Dengan mensubtitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), maka diperoleh persamaan

${\int }_a^{\infty }f\left(y\right)\left[\frac{1}{{\left(y-\eta \right)}^2}+L(y,\eta )\right]dy-2\pi iMGf\left(\eta \right)=2\pi iM{e}^{-M\eta },a<\eta <\infty$

Dengan nilai y = $\frac{2}{1+p}$, $\eta$ = $\frac{2}{1+q}$, dan dengan mempertimbankan nilai M1 = Ma, maka bentuk tak berdimensi dari integral hipersingular adalah

${\int }_a^{\infty }f1\left(p\right)\left[\frac{1}{{\left(p-q\right)}^2}+L1\left(p,q\right)\right]dp-4\pi i\frac{M1G}{{\left(1+q\right)}^2}f1\left(q\right)=H\left(q\right)$

.

Dengan

.

$L1\left(p,q\right)=\frac{\sigma }{{\left(p+q+2\right)}^2}+\frac{4M1}{(1+\rho )(p+1)(q+1)(p+q+2)}+\frac{8M{1}^2}{(1+\rho )(p+1)(q+1)(p+q+2)}\zeta 1(p,q)$

$\zeta 1\left(p,q\right)=-e^{\mu M1}\left[\ln .\left(\mu M1\right)+v-\pi i+\sum _{r=0}^{\infty }\frac{{\left(\mu M1\right)}^r}{r.r!}\right]$

$H\left(q\right)=-4\pi i\frac{M1}{{\left(1+q\right)}^2}{e}^{-\frac{2M1}{1+q}},-1<q<1$

.

$\pi danvmerupakankonstantaEulersdimananilai\pi =\frac{2\left(p+q+2\right)}{\left(p+1\right)\left(q+1\right)}dan$

$v=0.5772$

Pada tahap ini,persamaan di atas menghasilkan sistem persamaan linear dengan N + 1 tidak diketahui dan $a_n$, n = 0, 1, 2,…, N dari bentuk

$\sum _{n=0}^N{a}_n{A}_n\left(q\right)=H\left(q\right),-1<q<1$

Dimana

$A_n\left(q\right)=-\pi \left(n+1-4i\frac{M_{1}G\sqrt{1-q^2}}{{\left(1+q\right)}^2}\right)U_n\left(q\right)+{\int }_{-1}^1\sqrt{1-p^2{U}_n\left(p\right)L_1\left(p,q\right)dp.}$

Oleh karena itu, bentuk koefisien refleksi dan transmisi diperoleh sebagai:

.

$R=-\frac{2M_1\sum }{1+p}\sum _{n=0}^N{a}_n{\int }_{-1}^1\frac{\sqrt{1-p^2}}{{\left(1+p\right)}^2}{e}^{-\frac{2M_1}{\left(1+p\right)}}{U}_n\left(p\right)dp$

          .

$T=1+\frac{2M_1}{1+p}\sum _{n=0}^N{a}_n{\int }_{-1}^1\frac{\sqrt{1-p^2}}{{(1+p)}^2}{e}^{-\frac{2M_1}{\left(1+p\right)}}{U}_n\left(p\right)dp$

          .

dipertimbangkan skema kolokasi dengan titik kolokasi q j , j = 0, 1, 2, . . . N untuk menyelesaikan system persamaan linear

$\sum _{n=0}^N{a}_n{A}_n\left(q_j\right)=H\left(q_j\right),j=0,1,2,\dots ,N$

Dimana titik kolokasinya dianggap sebagai

$q_j=\cos .[\frac{(2j+1)\pi }{2N+2}],j=0,1,2,\dots ,N$

    .

  Dengan studi numerik untuk memutuskan efektivitas penghalang berpori, Koefisien pantulan dan transmisi dianalisis untuk parameter yang berbeda seperti rasio kepadatan ρ dan parameter porositas G sebagai fungsi ka wavenumber.Hasilnya dihitung dengan mengambil N = 10. Dalam Tabel 1,nilai refleksi=koefisien dihitung dengan metode saat ini untuk parameter porositas G 0 dengan ρ = 0,01 dan dibandingkan dengan hasil yang diperoleh memiliki kesesuaian yang sangat baik.

.

Tabel 1. Perbandingan hasil dengan Mandal dkk. [10] ketika ρ = 0,01

.

.

...............

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Ka

Gambar. 1. Koefisien Refleksi versus Ka untuk nilai ρ yang berbeda(= 0,01, 0,03) dan G = 0,5

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Gambar. 2. Koefisien Transmisi versus Ka untuk nilai ρ yang berbeda(= 0,01, 0,03) dan G = 0,5

.

Gambar 1 dan 2 menunjukkan efek rasio kepadatan pada hamburan gelombang antarmuka. Koefisien refleksi | R| dan koefisien transmisi | T | diplot untuk dua rasio kepadatan yang berbeda dari cairan, dengan ρ = 0,01 dan ρ = 0,3 versus ka jumlah gelombang tanpa dimensi. Untuk meningkatkan nilai ρ, diamati bahwa amplitudo koefisien refleksi menurun. Pola grafik yang berlawanan dapat dilihat dalam kasus koefisien transmisi. Oleh karena itu, rasio kepadatan cairan memiliki peran penting dalam perilaku menyebarkan gelombang antarmuka.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Gambar. 3 Koefisien Refleksi versus Ka untuk nilai G yang berbeda (= 0,25 + 0,25i, 0,5 + 0,5i)

dan ρ = 0,01

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Gambar 4 Koefisien Transmisi versus Ka untuk nilai G yang berbeda (0,25 + 0,25i, 0,5 + 0,5i)

dan ρ = 0,01

Dalam gambar 3 dan 4,koefisien refleksi dan transmisi, | R| dan | T | , masing-masing digambarkan untuk berbagai nilai parameter porositas G(= 0,25 + 0,25i, 0,5 + 0,5i) dalam cairan dengan rasio kepadatan ρ = 0,1 sebagai fungsi ka jumlah gelombang. Hal ini diamati dari gambar 3 bahwa | R| menurun seiring dengan meningkatnya KB sebagai nilai mutlak parameter porositas penghalang. Mungkin, ini disebabkan oleh kemampuan penghalang berpori bahwa beberapa insiden energi dihilangkan oleh penghalang. Sehingga koefisien transmisi pada Gambar. 4 adalah penurunan fungsi Ka karena disipasi energi oleh penghalang. Maka dari itu dengan adanya penghalang keropos, nilai |R|2 + |T |2 selalu kurang dari 1.

Oleh karena itu,dapat disimpulkan bahwa Green Functions merupakan salah satu metode pemecahan, terkait masalah nilai batas / limit, dimana suatu masalah yang sering ditemui dalam hal Fisika, yang juga tergantung dengan kondisi masing-masingnya. Formula dari Green Function itu sendiri harus turut diturunkan apa bila dalam sebuah pemecahan masalah, mulai dari bagaimana bentuk dan rumusnya. Kadang yang sering menjadi penghambat adalah bagaimana mengevaluasi formula/bentuk final dari suatu boundary valued problem dikarenakan adanya persamaan integral ganda maupun rangkap tiga. Sedikit sulit apabila ingin mencari/membuat solusi untuk menghitung hasil, karena biasanya akan terdapat masalah singularity pada rumus final. Dari hal tersebut, digunakanlah Numerical Methods untuk perkiraan dari masalah ini. Sedangkan, Chebyshev Polynomial sendiri merupakan salah satu metode numerik untuk mencari bentuk akhir dari formula Green Function yang bisa lebih efektif dan juga lebih banyak digunakan dalam menentukan ataupun memecahkan bentuk akhir suatu Green Function. Salah satu kemampuan dari Chebyshev Polynomial sendiri adalah mampu menghilangkan singularity maupun double integral problems yang ada pada bentuk akhir dari bentuk Green Function, dengan tujuan agar ketika membuat atau menentukan solusinya dapat dilakukan dengan lebih mudah.

.

.

.

Referensi

Basu, U., PAUL, S., & De, S. (2021). Interface Wave Diffraction by a Permeable Thin Barrier (pp. 59–69). https://doi.org/10.1007/978-981-15-8049-9_4

.

.

.

.