Teorema Green Untuk Sign data

Sign data adalah tanda dari sinyal yang ditambahkan ke noise. Penambahan sinyal ini dilakukan untuk menghilangkan noise pada sinyal yang konstan. Berikut ini akan dijelaskan secara singkat bahwa integral dari variansi sinyal dapat dipulihkan dengan menggunakan data integral dari sign data yang dimiliki oleh variasi sinyal. Disini metode ini akan disebut sebagai generalisasi rata-rata sign data. Kita menggunakan hasil dari kalkulasi tersebut untuk mendapatkan green theorem untuk sinyal data. Teorem Green sangat penting untuk berbagai pemrosesan data seismik, termasuk migrasi seismik. Hasil yang didapat akan menggeneralisasi laporan hasil dari data 2,5D yang mana adalah tiga dimensi tetapi hanya memiliki variasi pada 2 dimensi. Pada paper ini kita dapat melihat bahwa teorema green dapat menyelesaikan sign data ketika volume data simetris. Pada data yang arbitrary kita bisa menderivasikan variasi dari teorema green.

1. Pengenalan

Dalam kasus tertentu, data yang terdiri dari sinyal koheren dan gerau yang acak dijumlahkan berulang kali untuk meningkatkan sinyal dan mengurangi gerau. Telah ditemukan bahwa ketika rasio sinyal terhadap kebisingan adalah antara 0,1 dan 1, sinyal dapat dipulihkan jika sign-sign dari data disimpan sebelum dilakukan penjumlahan. Jenis data tersebut disebut sebagai sign data. Sign data memiliki kelebihan dalam mengurangi jumlah ruang yang dibutuhkan untuk merekam data secara signifikan dengan rasio 20 hingga 1 bit dari penyimpanan data.

Pada industri seismik, telah ditemukan bahwa kebanyakan metode pengolahan data yang tergantung pada teorema Green untuk data reguler juga efektif untuk sign data. Sebagai contoh adalah migrasi Kirchhoff yang bergantung pada teorema Green. Migrasi adalah proses seismik yang mengoreksi koordinat data yang terdistorsi oleh atribut eksperimen seismik. Sesuai dengan teorema Green, ditunjukan bahwa integral dari suatu operasi pada sign data di atas volume sama dengan integral dari operasi data asli di atas permukaan.

Hasil tersebut menggeneralisasi pekerjaan dari Houston dan Richard pada The Helmholtz-Kirchoff 2,5D Integral Theorem for Sign-bit Data, dimana hanya berdasarkan pemulihan sign data tradisional menampilkan teorema Green terpenuhi ketika sign data meliputi volume 2,5D. Data 2,5D adalah data dengan tiga dimensi tetapi hanya memiliki variasi dengan dua dimensi. Pada paper yang kami gunakan sebagai referensi menemukan bahwa teorema Green terpenuhi untuk sign data ketika volume dari data adalah semakin besar simetris. Untuk kasus di mana volume data adalah bentuk tidak beraturan, Paper yang kami gunakan sebagai referensi telah menurunkan varian dari teorema Green.

https://lh3.googleusercontent.com/Pw7ocKH-CnMm1xrEAtgvDszCm-2dyYCIgKi6o4lrcAHMh_8mEXNQ1GjkcUVcC7rKjyeqnIss9QmWX8tKFKcrHcpXXuCHBCIEqcn9AxnE8HL_scAGwPg7bH7Abe7JOolwKw3DUrim — Gambar 1 Sebuah sinyal sintetik (sin c(x/3)e^-(x/15)^{^}²) dan derau acak seragam yang dihasilkan komputer digunakan untuk memeriksa pemulihan amplitudo sign bit.

2.Generalisasi Rata-Rata Sign data

Seperti yang sudah ditunjukkan O’Brien et al. [1] bahwa ada pemulihan amplitudo dari sign data dengan adanya gangguan acak yang seragam. Jika gangguan acak $X_{j}$ memiliki amplitudo a, sinyal ditentukan oleh fungsi $F_{k}$ , dan jumlah iterasinya adalah $M = \sum j$ , maka kita dapat menulis persamaan

$f_{k} = \frac{a}{M} \sum j s g n (f_{k} + X_{j})$

(2.1)

Dimana

$s g n (y) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} . + 1, y > 0 . 0, y = 0 . - 1, y < 0 \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎠$

(2.2)

Gambar 1, menggambarkan proses pemulihan data termasuk sign data.

Kedua ruas persamaan (2.1) dikalikan dengan fungsi $g_{k}$ :

${g_{k} f}_{k} = \frac{a}{M} \sum j g_{k} s g n (f_{k} + X_{j})$

(2.3)

Kemudian menjumlahkan kedua sisi persamaan (2.3) di atas indeks k :

$\sum k {g_{k} f}_{k} = \frac{a}{M} \sum k \sum j g_{k} s g n (f_{k} + X_{j})$

(2.4)

Jika kita mengizinkan k → j, maka persamaan (2.4) menjadi :

$\sum j {g_{j} f}_{j} = \frac{a}{M} \sum j \sum j g_{j} s g n (f_{j} + X_{j})$

(2.5)

Atau

$\sum j {g_{j} f}_{j} = a \sum j g_{j} s g n (f_{j} + X_{j})$

(2.6)

Menjadi jelas jika $f_{j}$ → $f$ dan $g_{j}$ → $g$ , maka persamaan (2.6) menjadi :

$f = \frac{a}{M} \sum j s g n (f + X_{j})$

(2.7)

Di mana pada dasarnya persamaan (2.1), merupakan versi berkelanjutan dari persamaan (2.6) sehingga dapat ditulis sebagai :

$\int g (v) f (v) d v = a \int g (v) s g n (f (v) + v) d v$

(2.8)

Argumen untuk konsistensi persamaan (2.8) adalah sebagai berikut. Misalkan $f (v)$ → $f$ . Lalu kita memiliki persamaan :

$f = \frac{a \int g (v) s g n (f + v) d v}{\int g (v) d v}$

(2.9)

Kemudian di integrasi semua nilai $v$ :

$f = \frac{a \int_{- \infty}^{\infty} g (v) s g n (f + v) d v}{\int_{- \infty}^{\infty} g (v) d v}$

(2.10)

Misalkan $g (v)$ adalah kerapatan probabilitas seragam, $ρ (v)$ . Itu menyiratkan bahwa :

$\int_{- \infty}^{\infty} g (v) d v = 1$

(2.11)

Sehingga persamaan (2.10) akan menjadi :

$f = \int_{- \infty}^{\infty} ρ (v) s g n (f + v) d v$

(2.12)

yang ditunjukkan oleh Houston et al. [4].

3.Generalisasi Rata-Rata Derivatif Sign data

Berdasarkan persamaan diferensial orde ke-n berhingga

$Δ_{h}^{n} f (v) = \sum_{i = 0}^{n} {(- 1)}^{i} (\begin{matrix} n i \end{matrix}) f (v + (n - i) h)$ (3.1)

dengan $(\begin{matrix} n i \end{matrix}) = \frac{n!}{i!} (n - 1)!$

Apabila kita menggunakan variabel, v diskrit dengan memilih interval bilangan real terkecil, q dan f_j

$f_{j} = f (j q)$ (3.2)

dimana j adalah indeks integer lalu persamaan awal menjadi

$Δ_{h}^{n} f_{j} = \sum_{i = 0}^{n} {(- 1)}^{i} (\begin{matrix} n i \end{matrix}) f (j q + (n - i) h)$ (3.3)

karena derivasi berhingga adalah operator linear maka diturunkan

$\sum_{j} g_{j} Δ_{h}^{n} f_{j} = a \sum_{j} g_{j} s g n (f_{i} + X_{j})$ (3.4)

Persamaan 3.4 menjadi

$\sum_{j} g (j q) f (j q + l h) = a \sum_{j} g (j q) s g n (f (j q + l h) + X_{j})$ (3.5)

dimana l adalah arbitrary index

dari

$\frac{d^{n}}{d v^{n}} = lim h \to 0 . \frac{Δ_{h}^{n}}{h^{n}}$ (3.6)

Sehingg (3.4) mengikuti persamaan

$\int g (v) \frac{d^{n}}{d v^{n}} (v) d v = a \int g (v) \frac{d^{n}}{d v^{n}} s g n (f (v) + v) d v$ (3.7)

Dimana $\frac{d^{n}}{d v^{n}} \to \frac{d^{v}}{d u^{n}}$ dan f(v) $\to$ f(u)

Dari persamaan 3.7 maka didapat

$\frac{d^{n}}{d u^{n}} f (u) = \frac{a \int g (v) (\frac{d^{n}}{d u^{n}}) s g n (f (u) + v) d v}{\int g (v) d v}$ (3.8)

$f (u) = a \int_{- \infty}^{\infty} ρ (v) s g n (f (u) + v) d v$ (3.9)

Yangmana ditunjukan oleh Houstan et al. [4]

4.Aplikasi Teorema Green

Berdasarkan persamaan (3.7) dapat ditulis:

$\int g (υ) \frac{d^{2}}{{d υ}^{2}} f (υ) d υ = a \int g (υ) \frac{d^{2}}{{d υ}^{2}} s g n (f (υ) + υ) d υ$

(4.1 )

Dengan menggunakan 3 variabel , dihasilkan :

$\int g (υ_{1,} υ_{2,} υ_{3}) \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}^{2}} f (υ_{1,} υ_{2,} υ_{3}) d υ_{1} d υ_{2} d υ_{3} = a \int g (υ_{1,} υ_{2,} υ_{3}) \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}^{2}} s g n (f (υ_{1,} υ_{2,} υ_{3}) + υ_{i}) d υ_{1} d υ_{2} d υ_{3}$

(4.2 )

Dapat disederhanakan jika $= g (υ_{1,} υ_{2,} υ_{3})$ , $f = f (υ_{1,} υ_{2,} υ_{3})$ dan $d V = d υ_{1} d υ_{2} d υ_{3}$ ;

$\int g \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} f d V = a \int g \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} s g n (f + υ_{i}) d V$

(4.3 )

Penjumlahan atas hasil variabel

$\sum i \int g \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} f d V = a \sum i \int g \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} s g n (f + υ_{i}) d V$

(4.4 )

Sehingga , (4.4 ) dapat ditulis :

$\int g \nabla^{2} f d V = a \int g \sum i g \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} s g n (f + υ_{i}) d V$

(4.5 )

Jika di mapping :

$g (υ) \to \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} g,$

(4.6 )

Kemudian persamaan (2.8) menjadi :

$\int f \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} g d V = a \int s g n (f + υ_{i}) \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} g d V$

(4.7 )

Penjumlahan hasil variabel :

$\sum i \int f \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} g d V = a \sum i \int s g n (f + υ_{i}) \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} g d V$

(4.8 )

Selanjutnya dapat ditulis :

$\int f \nabla^{2} f d V = a \int \sum i s g n (f + υ_{i}) \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} g d V$

(4.9 )

Teorema green :

$. \oint s (u_{1} \frac{{\partial u}_{2}}{\partial n} - u_{2} \frac{{\partial u}_{1}}{\partial n} ⎞ ⎠ d S = \int_{v} (u_{1} \nabla^{2} u_{2} - u_{2} \nabla^{2} u_{1} ⎞ ⎠ d V$

(4.10 )

Sehingga, kita dapat menulis varias teorema green untuk sign data :

$. \oint s (g \frac{\partial f}{\partial n} - f \frac{\partial g}{\partial n} ⎞ ⎠ d S = a \int (g \sum i \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} s g n (f + υ_{i}) - \sum i s g n (f + υ_{i}) \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} g) d V$

(4.12 )

Jika interval spasialnya seragam , berarti $υ_{1} \in [a_{1}, b_{1}]$ , $υ_{2} \in [a_{2}, b_{2}]$ , $υ_{3} \in [a_{3}, b_{3}]$ dan $[a_{1}, b_{1}] =$ $[a_{2}, b_{2}] = [a_{3}, b_{3}]$ , kemudian (4.12) :

$. \oint s (g \frac{\partial f}{\partial n} - f \frac{\partial g}{\partial n} ⎞ ⎠ d S = a \int (g \int g \nabla^{2} s g n (f + υ_{i}) - s g n (f + υ_{i}) \frac{\partial^{2}}{{\partial υ}_{i}^{2}} \nabla^{2} g ⎞ ⎠ d V$

(4.13 )

Dalam kasus (4.13) dapat kita lihat bahwa teorema green mengganti fungsi f dengan sign data dan membagi integral permukaan dengan amplitude noise. Oleh karena itu , semua pemprosesan data real berdasarkan teorema green akan efektif untuk sign data dengan variasi terkait. Teorema green juga dapat ditingkatkan dengan jika pengoperasian melebihi volume simetris. Jika volumenya tidak simetris, kita dapat menerapkan varian dari Teorema Green dari persamaan 4.12.

5.Kasus 2,5D

Kasus khusus dimana fungsi $f$ dan $g$ hanya memiliki dua variasi dimensi

$f \to f (v_{1}, v_{2}) g \to g (v_{1}, v_{2})$ (5.1)

Tanpa menggunakan generalisasi rata-rata sign data

$a \int (g \nabla^{2} s g n (f + v_{i}) - s g n (f + v_{i}) \nabla^{2} g) d V = (b_{3} - a_{3}) \int (g \nabla^{2} f - f \nabla^{2} g) d v_{1} d v_{2}$ (5.2)

Atau

$\oint_{s} (g \frac{\partial f}{\partial n} - f \frac{\partial f}{\partial n}) d S = (b_{3} - a_{3}) \int (g \nabla^{2} f - f \nabla^{2} g) d v_{1} d v_{2}$ (5.3)

Persamaan tersebut adalah teorema Green untuk sign data ketika data mencakup volume 2,5D dan konsisten dengan hasil yang tertulis pada The Helmholtz-Kirchoff 2,5D teorema integral untuk Sign-bit Data.

6.Uji Komputasi

Persamaan (2.6) diturunkan dari rata-rata fungsi y_j= sgn (f_j+ X_j). Dapat kita tulis dalam perkiraan nilai y_i sebagai

$E (Y) = \frac{\sum_{j} g_{j} y_{j}}{\sum_{j} g_{j}}$ (6.1)

Kita dapat bahwa

$E (Y) = \frac{\sum_{j} g_{j} f_{j}}{a \sum_{j} g_{j}}$ (6.2)

Variansi, Var(Y) dapat ditulis sebagai

Var(Y)=E(Y – E(Y))²

(6.3)

Dapat disederhanakan dalam

E(Y)²= 1

(6.4)

Dengan demikian

Var(Y) = (1 – (Y))²

(6.5)

Dapat didemonstrasikan (2.6)

$\sum j g_{j} f_{j} = a \sum j g_{j} s g n (f_{i} + X_{j})$

(6.6)

Komputasional

f_j= sin(jq)

g_j= cos(jq)

(6.7)

Oleh karena itu, ditunjukkan dengan persamaan (6.8)

$\sum j cos . (j q) sin . (j q) = a \sum j cos . (j q) s g n (sin . (j q) + X_{j})$

(6.8)

Kemudian kita dapat menghitung persentase kesalahan rata-rata β sebagai berikut :

$β = 100 \sqrt{\frac{⟨ {(\sum_{j} cos . (j q) sin . (j q) - a \sum_{j} cos . (j q) s g n (sin . (j q) + X_{j}))}^{2} ⟩}{{(\sum_{j} cos . (j q) sin . (j q))}^{2}}}$

(6.9)

Tabel 1 : Dua puluh percobaan yang membandingkan nilai ekspresi yang ditunjukkan untuk $M$ iterasi per percobaan. Percobaan dibagi menjadi sepuluh percobaan untuk dua amplitudo dengan noise yang berbeda. Ingatlah bahwa $M = \sum j$ . Misalkan $M = 10000$ dan $q = 0.0001$ .

Tabel 1 juga menunjukkan korelasi antara β dan Var(Y).

7.Kesimpulan

Dengan menggunakan hasil pemulihan sinyal dari data sign, kita mendapat turunan dari generalisasi rata-rata sign data. Penjabaran hasil-hasil ini akan menghasilkan turunan yang mengarah pada variasi dari teorema green untuk sign data. Kita menemukan bahwa teorema green secara langsung teraplikasi pada sign data ketika data tersebut simetris dan integral permukaan dibagi dengan amplitudo dari noise. Aplikasi spesifik ini menyatakan bahwa teorema green teraplikasi untuk sign data ketika data volume dalam 2,5D dan bahwa generalisasi sign data tidak dibutuhkan.

Referensi

[1] J. T. O’Brien, W. P. Kamp, and G. M. Hoover, “Sign-bit amplitude recovery with applications to seismic data,” Geophysics, vol. 47, no. 11, pp. 1527–1539, 1982.

[2] N. A. Anstey, Seismic Prospecting Instruments, Gebruder Borntraeger, Berlin, Germany, 2nd edition, 1981.

[3] L. M. Houston and B. A. Richard, “The Helmholtz-Kirchoff 2,5D integral theorem for sign-bit data,” Journal of Geophysics and Engineering, vol. 1, no. 1, pp. 84–87, 2004.

[4] L. M. Houston, G. A. Glass, and A. D. Dymnikov, “Sign data derivative recovery,” ISRN Applied Mathematics, vol. 2012, Article ID 630702, 7 pages, 2012.

[5] W. G. Kelley and A. C. Peterson, Difference Equations: an Introduction with Applications, Academic Press, San Diego, Calif, USA, 1st edition,1991.

Artikel ini ditulis oleh Muhammad Andre Setiawan, Dandi, Hottua Gultom, Muhammad Arya Hanif , dan Aulia Rystan Putri Iftinan.

Teorema Green Untuk Sign data

About The Author

Warstek Media

Leave a Comment Cancel Reply

Teorema Green Untuk Sign data

Bagikan artikel ini:

About The Author

Warstek Media

Related Posts

Leave a Comment Cancel Reply