Limit Fungsi Trigonometri: Konsep, Teorema, Trik Deret [Lengkap+Contoh Soal]

Limit fungsi merupakan lanjutan dari Limit fungsi aljabar. Konsep ini berguna untuk menyelesaikan fungsi dalam bentuk trigonometri. Fungsi dalam bentuk trigonometri terdapat pada berbagai fenomena fisis, salah satunya yaitu fenomena osilasi pendulum. Pada umumnya penyelesaiannya menggunakan faktorisasi dan metode limit lainnya yang digabung dengan teorema limit trigonometri. Untuk penyelesaian yang lebih sederhana dapat menggunakan deret taylor.

Konsep

Limit fungsi trigonometri merupakan bentuk limit dimana fungsi yang menggunakan fungsi trigonometri. Pada limit fungsi trigonometri, sifat-sifat yang terdapat pada limit fungsi aljabar dapat digunakan sepenuhnya. Terdapat aturan tambahan yaitu:

1. Tidak ada limit fungsi trigonometri dasar menuju tak hingga, namun jika digabung dengan aljabar maka nilai limitnya ada.

$latex \lim_{x \to \infty} \sin x = tidak ada$

$latex \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = ada$

2. Nilai dalam fungsi trigonometri dalam satuan radian, bukan derajat.

Teorema Apit (Squeeze Theorem)

Misal $latex f,g,h$ merupakan suatu fungsi yang memenuhi pertidaksamaan $latex f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ untuk semua $latex x$ pada interval sekitar $ latex a$ maka

$latex \lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x) \leq \lim_{x \to a} h(x)$ membuktikan bahwa limit tersebut ada.

Mari kita buktikan menggunakan definisi dari limit.

Diketahui untuk semua nilai $ latex x$ dengan $latex 0<|x-a|<c$ memenuhi $latex f(x) \leq g(x) \leq h(x)$. Misal $latex \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L$ jika dan hanya jika, untuk setiap $latex \varepsilon >0$ terdapat $latex \delta_{1} , \delta_{2} >0$ yang memenuhi

$latex L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon$ dan $latex L-\varepsilon <h(x)<L+\varepsilon$

Jika dipilih $latex \delta = \min c,\delta_{1},\delta_{2}$, maka untuk setiap $latex x$ dengan $latex 0<|x-a|<\delta$ berlaku[1]

$latex L-\varepsilon <f(x) \leq g(x) \leq h(x)<L+\varepsilon$

Didapat bahwa $latex |g(x) – L|<\varepsilon$. Sehingga terbukti bahwa $latex \lim_{x \to a} g(x) = L$

Penerapan Teorema Apit

1. Penentuan nilai $latex \lim_{x \to 0} \sin x$

Kita tahun bahwa nilai dari limit di atas adalah 0 dengan menggunakan metode substitusi, namun bagaimana tinjauan dari teorema apit? Mari kita analisis.

Teorema apit memanfaatkan pendekatan suatu fungsi dibandingkan dengan fungsi yang lebih dekat secara geometri, jika kita meninjau kurva dari $latex \sin x$ di bawah, didapatkan bahwa $latex 0<\sin (x)<x$

Jika kurang jelas, mari kita tinjau dari geometri secara langsung

Pada bagian ini kita membandingkan panjang dari AB dan AC, saat $latex OC = 1$. Didapatkan perbandingan:

$latex 0<\sin (x)<\sqrt{2} \sqrt{1-\cos (x)} <x$

Karena $latex \lim_{x \to 0} 0 = \lim_{x \to 0} \sqrt{2} \sqrt{1-\cos (x)} = 0$, maka $latex \lim_{x \to 0} \sin (x) = 0$

2. Penentuan nilai $latex \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

Dari grafik di atas, kita dapat melihat bahwa saat $latex x \Longrightarrow 0$, didapat pertidaksamaan $latex \cos (x) \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$ [2].

Jika kita tinjau dari geometri seperti pada poin (1), maka:

Jika kita tinjau dari geometri di atas, luas dari segitiga KOA lebih kecil dari juring KOA dan lebih kecil dari segitiga LOA. Jika sudut dari KOA adalah $latex x$, maka

Luas △KOA $latex \leq$ Luas ⪦ KOA $latex \leq$ Luas △LOA

$latex \frac{\sin x}{2} \leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan (x)}{2}$

Dengan mengkalikan semuanya dengan $latex \frac{2}{\sin (x)} >0$ didapat

$latex 1 \leq \frac{x}{\sin (x)} \leq \frac{1}{\cos (x)}$

Dengan mengkalikan semuanya dengan pangkat (-1) didapat

$latex \cos (x) \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$.

Dengan menggunakan metode pada poin (1) didapat:

$latex \lim_{x \to 0} \cos (x) = \lim_{x \to 0} 1 = 1$

Atau

Deret taylor

Deret taylor merupakan suatu fungsi yang terdiri dari penjumlahan berbagai variabel hingga mendekati tak hingga. Dalam fungsinya terdapat bentuk turunan dari fungsi tersebut. Semakin banyak penjumlahan pada fungsinya maka pendekatannya akan lebih akurat. Deret taylor dari suatu fungsi dapat dirumuskan sebagai berikut:

$latex f(x \to a) = \sum_{0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x-a)^n $

Berikut beberapa deret trigonometri dasar yang berguna untuk menentukan limit saat $latex x \to 0$

$latex \sin (x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – …$

$latex \cos (x) = 1 – \frac{2^3}{2!} + \frac{x^4}{4!} – …$

$latex \tan (x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + …$

$latex \sec (x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + …$

$latex \cot (x) = x^{-1} – \frac{x}{3} – \frac{x^3}{45} – …$

$latex \csc (x) = x^{-1} + \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} + …$

Bagaimana penerapan di penyelesaian limit fungsi trigonometri?

Jadi dalam penyelesaian soal, terdapat dua bagian deret yang digunakan yaitu bagian utama dan bagian kosong. Biasanya hanya diperlukan 1 variabel dari deret, terkadang digunakan hingga 2 variabel. Mari kita terapkan

$latex \lim_{x \to 0} \frac{x \sin (x)}{1-\cos (x)}$

Kita substitusi deret taylor untuk $latex \sin x$ dan $latex \sin x$

$latex \lim_{x \to 0} \frac{x (x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – …)}{1-(1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – …)}$

Untuk $latex \sin (x)$, bagian utama hanya $latex x$ dan untuk $latex \cos (x)$, bagian utama hanya $latex 1 – \frac{x^2}{2!}$. Karena sisanya berupa bagian kosong, maka nilainya menjadi 0 dan persamaannya menjadi

$latex \lim_{x \to 0} \frac{x (x)}{1-(1 – \frac{x^2}{2!})}$

$latex \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{x^2} = 2$

Mudah bukan? Berikut rahasia trik deret

$latex \sin (x) \approx x$ atau $latex \sin (x) \approx x – \frac{x^3}{3!}$

$latex \cos (x) \approx 1 – \frac{x^2}{2!}$

$latex \tan (x) \approx x$ atau $latex \tan (x) \approx x + \frac{x^3}{3}$

$latex \sec (x) \approx 1 + \frac{x^2}{2}$

Contoh soal HOTS

$latex \lim_{x \to 1} \frac{(x^4 -1) \tan (x-1) \sin^{2} (2x-2)}{(1-\cos (x-1))^2}$

Untuk menyelesaikan soal yang tampak sangat rumit tersebut, kita akan meninjau dari deretnya. Dari soal nilai $latex x \to 1$, maka deretnya akan menggunakan fungsi $latex f(x-1)$. Perbedaannya hanya pada $latex x \Longrightarrow (x-1)$. Kita gunakan trik deret sehingga soal yang begitu rumit tersebut menjadi

$latex \lim_{x \to 1} \frac{(x^4 -1) (x-1)(2x-2)^2}{(1-(1 – \frac{(x-1)^2}{2!}))^2}$

Dengan sedikit faktorisasi dan perhitungan maka

$latex \lim_{x \to 1} \frac{4(x^2 +1)(x+1) (x-1)^4}{\frac{(x-1)^4}{2^2}}$

$latex \lim_{x \to 1} 4(4)(x^2 +1)(x+1) = 4(4)(1^2 +1)(1+1) = 64$

Referensi:

[1]       Sekar, “Ddivi,” 10 Oktober 2018. [Online]. Available: https://kalkulus.mipa.ugm.ac.id/single/teorema-apit/. [Diakses 28 Desember 2020].

[2]       University of Arizona, “Squeeze Theorem,” 12 Januari 2011. [Online]. Available: http://ime.math.arizona.edu/g-teams/Profiles/JS/Calc/SqueezeTheorem.pdf. [Diakses 28 Desember 2020].