Bentuk Indah Matematika: Set Mandelbrot

Kita mengenali set Mandelbrot sebagai bentuk indah matematika yang ada di internet. Ia merupakan suatu inti berbentuk lingkaran yang melengkung ke bagian dalam (kardioda) dan sebuah sub inti yang berada di depan lekukan. Di pinggir dari inti dan sub inti tersebut terdapat bola kecil (bulb) dan pola-pola lekukan yang indah dan menarik untuk diamati. Dikarenakan bentuknya yang indah, banyak kalangan mengembangkan seni berdasarkan pola Mandelbrot tersebut. Mereka menghias set Mandelbrot mereka dengan warna-warna yang menambah keindahan set Mandelbrot tersebut.

Seperti misalnya video berikut

[embedyt] https://www.youtube.com/watch?v=u_P83LcI8Oc[/embedyt]

The Infinite Ocean – Mandelbrot Fractal Zoom, Maths Town

Di video tersebut, seorang seniman mengembangkan karya berbasis set mandelbrot dengan fractal zoom. Pewarnaannya yang menggunakan konsep tiga dimensi seolah-olah menciptakan ilusi bahwa kita memasuki sebuah ruangan tanpa dasar yang terus berkelanjutan dan mempesona. Namun, tahukah kamu bahwa bentuk yang indah ini memiliki komposisi matematika yang menarik di dalamnya?

Iterasi dan Polinom Kuadratik

Sebelum memasuki komposisi set Mandelbrot, ada baiknya kita mengenal apa itu iterasi. Iterasi secara pengertian adalah pengulangan suatu proses secara berulang-ulang. [1] Iterasi terdapat di pemrogaman, maupun matematika. Dalam matematika, iterasi dilakukan dengan mengoprasikan suatu fungsi kemudian hasil dari fungsi tersebut dimasukkan lagi ke fungsi sebelumnya sehingga membentuk fungsi yang baru. Proses ini dilakukan secara berulang-ulang.

Contoh :

f(x)=2x-3

Misalkan x=0, maka

f(x)=2.0-3

f(x)=-3

Nilai f(x)=-3 ini dimasukkan persamaan 2x-3 sehingga nanti diperoleh f₂(x)=-9. Dari f₂(x), diperoleh f₃(x), dari f₃(x) diperoleh f₄(x), dst. Hal ini dilakukan secara terus menerus hingga nanti didapat hasil yang diinginkan.

Dalam set Mandelbrot, fungsi yang digunakan adalah f(x)=x²+c, dengan x₀ adalah 0 dan c adalah parameter. [2] Hasil yang diinginkan dari fungsi set Mandelbrot adalah nilai c dimana fungsi yang terbentuk tidak melesat ke takhingga. Misalnya sebagai berikut:

f(x)=x²+1 (c=1)

f₁(x)=0²+1 =1

f₂(x)=1²+1=2

f₃(x)=2²+1=5

f₄(x)=5²+1=26

f₅(x)=26²+1= Besar

f₆(x)= Lebih besar

f₇(x) = Sangat besar

Disini terlihat bahwa 1 tidak termasuk dalam set Mandelbrot karena fungsinya melesat ke takhingga. [1] Hal ini akan berbeda apabila kita memasukkan nilai c yang lain, misalnya adalah 0,1.

f₁(x)=0²+0,1 = 0,1

f₂(x)=0,1²+0,1 = 0,11

f₃(x)=0,11²+0,1 = 0,11

f₄(x)=0,11²+0,1 = 0,11

Disini terlihat bahwa 0,1 memusat ke suatu titik yaitu 0,11. Oleh karena itu, 0,1 termasuk kedalam set Mandelbrot. Daftar bilangan f1(x), f2(x), f3(x), f4(x), dst yang dihasilkan dari iterasi memiliki nama yaitu orbit x₀ dalam iterasi dari x²+c. Orbit yang cenderung sama seperti 0,1 disebut dengan orbit fixed point. [1]

Ada kasus lain yang berbeda dari keduanya, yaitu -1. Kasus ini dapat dituliskan sebagai berikut.

f₁(x)=0²-1=-1

f₂(x)=(-1)²-1=0

f₃(x)=0²-1=-1

f₄(x)=(-1)²-1=0  

Dari sini terlihat bahwa -1 mengalami pergerakan maju mundur antara -1 dan 0. Hal seperti ini disebut dengan siklus periode 2. [1]

Zona Mandelbrot

Dari ketiga contoh diatas, ternyata mereka tidak mengalami nasib yang sama. 1 diluar set Mandelbrot, sedangkan 0,1 dan -1 berada di dalamnya. 0,1 memiliki orbit fixed point, sedangkan -1 memiliki orbit dengan periode 2. Mengapa hal ini bisa terjadi? Ternyata hal ini dapat dijelaskan dengan melihat gambar set Mandelbrot itu sendiri.

Dari gambar, 1 berada di luar Mandelbrot sehingga orbitnya lepas menuju ke takhingga. Namun, hal ini tidak berlaku hanya untuk 1 saja. Setiap angka yang berada di luar set Mandelbrot seperti 0,5 -2, 5, dll juga melesat menuju ke takhingga. Hal ini karena set Mandelbrot memiliki rentang antara (-2) – 0,25. [2]

Sedangkan, 0,1 dan -1 berada di dalam Mandelbrot, tapi memiliki sifat yang berbeda. Hal ini karena 0,1 berada di dalam kardioda utama yang memiliki periode 1, sedangkan -1 berada di sub-inti lingkaran yang memiliki periode 2. Pembagian periode dalam set Mandelbrot dapat dilihat dari gambar berikut.

Orbit Chaos

Dalam set Mandelbrot, kita juga menemukan suatu bentuk yang tidak biasa. Ia tidak termasuk orbit fixed point maupun orbit dengan periode tertentu. Ia berbentuk acak tidak beraturan, akan tetapi setelah berulangkali iterasi, ia tetap tidak melesat ke takhingga. Ia adalah yang kita sebut dengan orbit chaos.

Orbit chaos seringkali muncul pada c negatif. Kebanyakan orbit chaos berada setelah -1,38 hingga -2 [1][2]. Hal ini dikarenakan, bilangan c telah melewati gambar set Mandelbrot dan berada di tepian (garis) Mandelbrot sehingga mengalami chaos. Misalnya, ditampilkan bentuk orbit -1,9 sebagai berikut.

Terlihat bahwa orbit tidak memiliki bentuk yang pasti dan bergerak secara acak. Orbit di daerah tepian ini sangat dipengaruhi oleh nilai c. Sedikit saja berubah, maka akan tercipta orbit baru yang memiliki pola yang berbeda. [2]

Bidang Kompleks

Dari sini, kita telah mengenal iterasi, orbit, dan persamaan fungsi f(x)=x²+c. Ada satu unsur lagi sebelum pengertian kita akan set Mandelbrot sempurna. Set Mandelbrot berada pada bidang kompleks.

Bidang kompleks adalah suatu bidang yang memiliki unsur bilangan real dan bilangan imajiner. Bilangan imajiner adalah bilangan real yang dikalikan dengan konstanta i. i sendiri melambangkan . Tidak ada hasil akar dari -1 sehingga akhirnya dilambangkan dengan i karena itu bukan bilangan nyata. [2] Bilangan real menempati garis bilangan horizontal, sedangkan bilangan imajiner menempati garis bilangan vertikal. Hal ini ditunjukkan dengan gambar berikut.

Pengoprasian pada bilangan kompleks dilakukan seperti aljabar biasa, dengan menganggap i sebagai suatu konstanta. Misalnya sebagai berikut.

1. 2+3i + 6+5i = 8+8i
2. (2+3i)² =2² + 2.2.3i + (3i)²

=4 + 12i + 9i²    (i= )

=4 + 12i -9

=-5 + 12i

Penutup

Sekarang kita bisa menarik pengertian sesungguhnya dari set Mandelbrot. Secara definisi, set Mandelbrot merupakan suatu set yang terdiri dari semua nilai (kompleks) c yang mana orbit 0 yang bersesuaian dalam x2+c tidak lepas ke takhingga. [1]

Mandelbrot merupakan suatu bentuk yang disebut dengan fraktal yaitu suatu pola kompleks tak terbatas yang mirip dirinya sendiri dalam skala berbeda. Ia tercipta oleh pengulangan terus menerus suatu proses dalam umpan balik berkelanjutan. [4]

Bagian berwarna hitam dalam gambar biasanya merupakan set Mandelbrot, sedangkan bagian berwarna lain merupakan luar dari set Mandelbrot. Pewarnaan di bagian lain didasarkan cepatnya suatu orbit lepas menuju takhingga. [2]

Referensi

1. https://plus.maths.org/content/what-mandelbrot-set, diakses 28 Mei 2020
2. https://www.youtube.com/watch?v=7MotVcGvFMg Mandelbrot Set Explained – The Mathemagicians’ Guild, diakses 28 Mei 2020
3. https://fractalfoundation.org/resources/what-are-fractals/, diakses 28 Mei 2020
4. https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set, diakses 28 Mei 2020