Differensial: Pencarian Nilai Optimum

Memang, differensial (turunan) bagian dari kalkulus, yang sudah familiar bagi siswa matematika. Kenyataannya kalkulus sudah dipelajari di kelas 11. Adalah differensial yang akan dibahas pada artikel kali ini.
Differensial sendiri berasal dari kata different atau perbedaan dan sial atau kesialan, jika digabungkan menjadi perbedaan menimbulkan kesialan.

Eiits, bukan ini maksudnya, yang jelas differensial merupakan ilmu kalkulus yang digunakan dalam pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan.
Ilmu differensial (turunan) sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Terutama dalam menentukan nilai optimum dalam suatu kasus, misalnya dalam bidang ekonomi. Misalnya, di bidang ekonomi, differensial bisa digunakan oleh pedagang untuk mencari keuntungan maksimum.

Konsep Differensial (Turunan)

Untuk artikel ini akan difokuskan ke masalah pencarian nilai optimum menggunakan konsep differensial.

Penurunan Untuk Mencari Nilai Optimum

Jika diketahui y adalah sebuah fungsi dari x atau y=f(x). Maka seperti yang diketahui, turunan dari y disebut juga sebagai gradien garis singgung dari sebuah kurva f(x).

Kenapa turunan dari y disebut sebagai gradien garis singgung? Dalam artikel ini tidak akan dijelaskan bagaimana cara mengetahui bahwa turunan dari y adalah gradien garis singgung. Hal ini dikarenakan artikel ini akan fokus dalam mencari nilai optimum menggunakan diferensial.

Misal jika diketahui
y=2x+1
Maka gradiennya sama dengan 2, jika melalui rumus gradien y=mx+c, yang diketahui m itu adalah gradien.
Tetapi dari konsep diferensial juga akan ditemukan hasil yang sama,
y=2x+1
dy/dx=2
Hal ini menunjukan bahwa turunan dari sebuah fungsi adalah gradien garis singgung kurva fungsi tersebut.

Jika diketahui sebuah fungsi kuadrat, maka akan terbentuk yang namanya titik puncak. Titik puncak tersebut bisa minimal dan maksimal. Untuk itu hanya ada satu titik yang memiliki nilai optimum, yaitu di titik puncak.
Garis singgung hanya akan menyinggung kurva di satu titik, jika garis singgung menyinggung kurva di titik puncak maka garis singgungnya mendatar atau gradiennya sama dengan nol. Untuk itu dari konsep inilah untuk mencari nilai optimum dari sebuah fungsi maka solusinya dengan menurunkan fungsi tersebut untuk dijadikan gradien dan menyamakan dengan nol.

Untuk mengetahui jenis optimumnya, maka bisa digunakan turunan kedua. Apa itu turunan kedua? Jika turunan pertama adalah gradien maka turunan keduanya adalah turunan dari gradien tersebut. Maknanya turunan kedua adalah perubahan dari gradien.

Jika kurvanya berupa bukit atau puncaknya maksimal, maka akan terbentuk gradien dari sisi kiri ke kanan. Gardien dari sisi kiri (awal) bernilai positif sedangkan gradien di sisi kanan (akhir) bernilai negatif, karena perubahan gradien (∆m) adalah gradien akhir yang negatif dikurangi gradien awal yang positif, maka nilai dari ∆m menjadi negatif (-).

Sebaliknya jika kurvanya berupa lembah atau puncak minimum, maka gradien yang di sisi kiri (awal) bernilai negatif dan di sisi kanan (akhir) bernilai positif. Maka perubahan gradiennya (∆m) akan positif (+).

Simpulan

Maka dapat disimpulkan bahwa untuk mengetahui suatu fungsi nilai optimumnya maksimal jika turunan kedua atau turunan gradiennya negatif ( ∆m < 0 ). Sebaliknya akan minimum jika turunan kedua atau turunan gradiennya positif ( ∆m > 0 ).

Jika subuah fungsi
y = ax² + bx + c
dy/dx = 2ax + b = 0 (syarat sebuah fungsi nilainya optimum, turunannya harus nol)
2ax + b = 0
x = -b/2a ( titik puncak).

Untuk mengetahui jenis turunannya, maka kita turunkan lagi atau turunan kedua (turunan gradien).
dy/dx = 2ax + b (m)
dm/dx = 2a (∆m)
Sesuai syarat akan maksimum jika
∆m < 0 2a < 0 a <0 sebaliknya akan minimum jika ∆m > 0
2a > 0
a > 0

Untuk penjelasan lebih lanjut silakan tonton videonya di link berikut:

1. https://youtu.be/bgDFPMQbJnw
2. https://youtu.be/4mpOxZMQ9t4

Referensi

1. https://www.slideshare.net/mobile/fauz1/turunan-differensial diakses pada Senin, 15 Juni 2020
2. https://youtu.be/bgDFPMQbJnw diakses pada Sabtu, 13 Juni 2020
3. https://youtu.be/4mpOxZMQ9t4 diakses pada Sabtu, 13 Juni 2020