Bilangan Graham: Bilangan yang Melebihi Alam Semesta

Alam semesta kita begitu luas dan besar. Ia mengandung sekurang-kurangnya dua triliun galaksi dan ratusan miliar trilyun (sextillion) bintang. Bintang-bintang tersebut memiliki suatu sistem tata surya dan diorbit oleh planet-planet yang tak terhitung jumlahnya. Alam semesta ini memiliki diameter 93 milyar tahun cahaya dari ujung ke ujung, sesuatu yang begitu luas yang tidak mungkin semua itu bisa dijamah oleh tangan manusia. [1] Ia mengandung partikel yang sangat banyak yaitu antara 10⁷⁸-10⁸². [2] Alam semesta ini begitu menakjubkan, tapi ternyata ada hal lain yang tak kalah menakjubkan. Ia adalah bilangan Graham, bilangan yang besarnya bahkan melebihi alam semesta.

Teori Ramsey

Sebelum menjelaskan besar bilangan Graham, marilah kita membahas apa itu bilangan Graham. Bilangan Graham adalah bilangan yang dicetuskan oleh seorang matematikawan bernama Ron Graham di tahun 1971. Bilangan ini merupakan jawaban pembuktian teori Ramsey di dimensi ketiga dan atasnya. Teori Ramsey ini berbunyi demikian, “Kekacauan total nampaknya mustahil, sebagaimanapun rumit suatu sistem. Suatu keteraturan dalam ukuran apapun dijamin ada bila suatu sistem cukup besar.”[3]

Permisalan dari teori Ramsey adalah sebagai berikut. Dalam suatu pesta, kamu sebagai tuan rumah ingin melacak siapa yang dikenal oleh tiap orang. Misalkan kamu membuat peta hubungan setiap teman yang kamu undang, garis biru untuk orang yang saling kenal dan garis merah untuk orang yang belum kenal, maka akan didapat gambar seperti dibawah ini.

Dalam gambar yang terlihat rumit tersebut, terdapat suatu keteraturan. Bila dilihat hubungan antara Ann, Bryan, dan David, ketiga-tiganya nampak tidak mengenal satu sama lain. Adanya keteraturan dalam peta jaringan yang nampak kacau tersebut ialah salah satu pembuktian teori Ramsey. [3]

Untuk menjamin terjadinya tiga hubungan yang saling mengenal atau tidak saling mengenal, diperlukan sekurang-kurangnya 6 orang. 5 Orang tidak cukup untuk melakukannya seperti contoh dibawah ini.

Bilangan yang diperlukan untuk mendapatkan 3 saling kenal atau tidak kenal disebut dengan bilangan Ramsey (3,3). [3]

Bilangan Graham

Berbeda dengan teori Ramsey yang fokus pada hubungan 2 dimensi, Graham lebih tertarik di hubungan 3 dimensi dan atasnya. Graham tertarik untuk menemukan suatu 4 sudut yang terhubung satu sama lain (6 garis) yang memiliki warna yang sama (keteraturan) dalam bidang datar, seperti gambar di bawah ini.

Keenam garis tersebut harus berada di dimensi yang lebih besar dari 2. Hal ini dikarenakan dimensi 2 tidak cukup untuk menampilkan suatu kekacauan dan keteraturan di saat bersamaan. Oleh karena itu, dimensi yang lebih besar dari 2, seperti 3,4, dst. [4]

Dalam dimensi ke-3, menemukan keteraturan dalam kekacauan ialah hal yang tidak mungkin. Begitu pula dimensi ke-4, 5, dst. Hal ini dikarenakan dimensi-dimensi ini tidak memiliki cukup kombinasi garis kacau untuk dihasilkan suatu keteraturan. Kombinasi ini ditemukan dari rumus kombinasi yang berbeda dalam garis-garis di suatu dimensi.

2ⁿ

Dengan n adalah jumlah garis yang terhubung satu sama lain. Sedangkan, jumlah garis ini ditemukan dengan koefisien binomial.

n adalah jumlah titik sudut, yang diperoleh dari 2^N dengan N adalah jumlah dimensi. [4]

Contoh:

Pada dimensi 4, terdapat 2⁴ titik sudut = 16

Dan 2¹²⁰ = 1.329228e+36 kombinasi garis yang mungkin

Meskipun begitu, Graham menemukan batas atas dimana dimensi memiliki keteraturan dalam kekacauan di dalamnya. Batas tersebut ialah bilangan Graham, suatu bilangan yang luar biasa besarnya bahkan melebihi alam semesta. [4]

Besar Bilangan Graham

Dalam tajuk ini, kita akan memperkenalkan terlebih dahulu suatu penanda baru yaitu panah atas  ().Penanda ini diciptakan oleh Don Knuth, ia memiliki arti sebagai suatu pengulangan perkalian (perpangkatan).

ab = axaxax…xa sebanyak b = a^b

Maka, misalkan a = 3 dan b=3, maka 33 = 27

Setelah mengetahui pengulangan perkalian, operasi berikutnya adalah pengulangan perpangkatan atau biasa disebut menara pangkat. Ia di tandakan dengan dua panah atas ().

Jadi, ab menghasilkan menara pangkat a dengan tinggi b. Misalnya a=3, b=3, maka

Proses ini berulang secara tidak terbatas, sehingga menciptakan lebih banyak operasi matematika.

ab = a(a(a(…aa)) sebanyak b

Maka diberi contoh a=3 dan b =3,

33 = 3(3(3))

Kita mengetahui bahwa, 33 = 7,6 trilyun, maka

Ia adalah bilangan yang sangat besar bahkan melampaui alam semesta kita! Jika 3^{7,6 trilyun} saja sudah melebihi alam semesta ini, bagaimana dengan  sebanyak 3^3^3^…^3 sampai 7,6 trilyun? Sudah tidak terbayangkan lagi. Namun, kita masih jauh dari selesai. Berikutnya menginjak empat panah atas ().

33 = 3(3(3))

3(3(…3(3) sebanyak 33

Dari sini, kita akan bedah satu per satu dari yang paling belakang

…33 = 7,6 trilyun , ia adalah tinggi menara pangkat bilangan di bawahnya

…3(33) =  3^3^3….^3 sebanyak 7,6 trilyun, ia adalah tinggi menara pangkat bilangan di bawahnya

…3(3(33)) = 34, ia adalah tinggi menara pangkat bilangan di bawahnya

.

.

.

.

3(3… = Tak terbayangkan

Titik-titik vertikal ini sebanyak 33! [7]

Masihkah kau percaya bahwa alam semesta ini tidak ada apa-apanya di bandingkan bilangan Graham?

Bilangan Graham Sesungguhnya

Misalkan besar dari 33 dianggap sebagai G1

Kemudian, kita mendefinisikan suatu bilangan yang disebut G2. G2 ini adalah 3…3 dengan panah atas sebanyak G1. Bayangkan! Dari 1 panah ke 4 panah saja, sudah menghasilkan bilangan yang tidak terbayangkan jumlahnya. Sedangkan, G2 terdiri dari 3…3 dengan panah atas sebanyak G1. Sebesar apakah G2 itu?

Tapi itu belum selesai, masih ada G3 yang mirip sesuai pengertian G2 hanya saja ia memiliki jumlah panah atas sebanyak G2. Kemudian ada G4 yang sesuai G2 yang memiliki panah sebanyak G3. Kemudian G5, G6, G7, G8, dll.

Sampai berapakah tingkat bilangan ini? Yaitu sampai G64. Ya, bilangan yang Maha Besar inilah yang kita sebut sebagai Bilangan Graham. [7]

Kesimpulan

Bilangan Graham adalah bilangan yang sangat besar dan tidak terbayangkan jumlahnya. Graham memang benar bilangan yang melebihi alam semesta, tapi bila dilihat dari besarnya bilangan tersebut, sebutan melampaui alam semesta layaknya suatu olokan baginya. Bilangan ini pada zamannya pernah memenangkan Guinness Word Record sebagai bilangan terbesar di dunia [4]. Saking besarnya bilangan ini, hanya diketahui 500 digit terakhir dan digit pertamanya adalah misteri. [8]

Bilangan sebesar ini masihlah termasuk bilangan berhingga, sehingga terdapat takhingga jumlah bilangan yang lebih besar dari bilangan Graham. Salah satunya adalah tree(3), bilangan Loader, dan bilangan Rayo. Akan tetapi, bilangan Graham tetap bertahan di hati kita sebagai bilangan pembuktian matematika yang terdefinisi sepenuhnya. [5]

Referensi

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe#:~:text=There%20are%20at%20least%202,the%20same%20in%20every%20direction, 4 Mei 2020
2. https://www.universetoday.com/36302/atoms-in-the-universe/, 4 Mei 2020
3. https://plus.maths.org/content/too-big-write-not-too-big-graham, 5 Mei 2020
4. https://www.youtube.com/watch?v=GuigptwlVHo, How Big is Graham’s Number (feat Ron Graham) Numberphile, 5 Mei 2020
5. https://plus.maths.org/content/writing-unwritable-arrow-notation, 5 Mei 2020
6. https://www.youtube.com/watch?v=GuigptwlVHo, How Big is Graham’s Number (feat Ron Graham) Numberphile, 5 Mei 2020
7. https://www.youtube.com/watch?v=txajrEOTkuY, Graham’s Number Escalates Quickly – Numberphile, 5 Mei 2020
8. https://www.youtube.com/watch?v=XTeJ64KD5cg, Graham’s number – Numberphile, 5 Mei 2020